Chủ đề này có 7 trả lời

[supermember]

Bài toán : Cho các số dương $ x ; y ; z $ thỏa mãn $ x(x+y+z) \ = \ 3yz$

Chứng minh bất đẳng thức : $ (x+y)^3 + (x+z)^3 + 3(x+y)(y+z)(z+x) \ \leq \ 5(y+z)^3$

Làm bài này lại nhớ 1 năm trước ngồi bất lực trong phòng thi

Lời giải : Đặt $ a= x+y ; b = x+z $

Ta có : $ x(x+y+z) \ = \ 3yz \Rightarrow x^2 + xy + xz + yz = 4yz \Rightarrow (x+y)(x+z) = 4yz$
Dễ thấy : $ (a-b)^2 = (y-z)^2 ; ab = 4yz $

Ta có : $ a^3 + b^3 = (a+b)( a^2 - ab +b^2 ) $

$ a+b \ \leq \ \sqrt{2(a^2 +b^2 )} = \sqrt{2((a-b)^2+ 2ab )} = \sqrt{2((y-z)^2+ 8yz )} =\sqrt{2((y+z)^2+ 4yz )} \ \leq \ \sqrt{4(y+z)^2 } = 2(y+z) (*) $

Và $ ( a^2 - ab +b^2 ) = (a-b)^2 + ab = (y-z)^2 + 4yz = (y+z)^2 (**)$

Từ $(*) ; (**) \Rightarrow a^3 + b^3 \ \leq \ 2(y+z)^3 \ \ (1)$

$ 3(x+y)(y+z)(z+x) = 12(yz)(y+z)= 3(4yz)(y+z) \ \leq \ 3(y+z)^2 (y+z) = 3(y+z)^3 \ \ (2)$

Từ $(1);(2)$ ta cộng các bất đẳng thức vế theo vế và suy ra điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 31-08-2013 - 12:46

[duca1pbc]

Bài này xài biến đổi tương đương cho gọn
$(x+y)^3+(x+z)^3=(2x+y+z)((x+y)^2-(x+y)(x+z)+(x+z)^2)$
$=(2x+y+z)(y^2-yz+z^2+x^2+xy+xz)$
$=(2x+y+z)(y^2-yz+z^2+3yz)=(2x+y+z)(y+z)^2$
Thế vào,khử $(y+z)$ ta đc:
$(2x+y+z)(y+z)+3(x+y)(x+z) \le 5(y+z)^2$
$\leftrightarrow 4(y+z)^2-5x(y+z)-3x^2-3xy \ge 0$
$\leftrightarrow 4(y+z)^2-6x(y+z)-4x^2 \ge 0$
$\leftrightarrow 2(y+z-2x)(2(y+z)+x) \ge 0$
$\leftrightarrow y+z \ge 2x$
Từ giả thiết ta có $4x(x+y+z) \le 3(y+z)^2$
$\leftrightarrow (y+z-2x)(3(y+z)+2x)) \ge 0$
$\leftrightarrow y+z \ge 2x $
Xong!

[mai quoc thang]

Cảnh cáo supermember về những lời nói thiếu kiềm chế . Bạn có nhiều những bài viết mang tính đóng ghóp cho diễn đàn nhưng rất hay áất tự chủ trong lời ăn , tiếng nói .

[MyLoveIs4Ever]

Từ gt ta có $ (x+y)(x+z)=4yz => x \leq \sqrt{yz} \leq \dfrac{y+z}{2} => x^3 \leq yz\sqrt{yz} $

Thay vào $ VT = 2x^3 +(y^3+z^3)+ 3x^2(y+z) +3x(y^2+z^2) + 12yz(y+z) $
$ VP= 5(y^3+z^3)+15yz(y+z) $

VP-VT = $ 4(y^3+z^3)+3yz(y+z)-2x^3-3x^2(y+z)-3x(y^2+z^2) \geq 3(y^3+z^3-\sqrt{yz}(y^2+z^2)) $
=> $ VP-VT \geq 3(y^3+z^2- \dfrac{y+z}{2}(y^2+z^2)) = \dfrac{3}{2}(y^3+z^3-yz(y+z)) \geq 0 $

[tranquocluat_ht]

Thân tặng:

http://www.maths.vn/...1038#post131038

[mai quoc thang]

Tớ giải lâu rồi trên mathlinks Materazzi

[Nguyễn Hưng]

Đây là lời giải em nghĩ ra hồi năm lớp 10. Công sức một tiếng đồng hồ đấy :-s
http://hizact.wordpr...hối-a-nam-2009/

[T M]

bạn nào giải thíc hộ mình chỗ này ko?" $(y^{3}+z^{3})2\geq (y^{2}+z^{2})^{2}(y^{2}+z^{2})$ ?????????????????????