Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

Bài BĐT thi ĐH khối A 2009


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1540 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Ngoại Thương tp Hồ Chí Minh
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 04-07-2009 - 11:05



Bài toán : Cho các số dương $ x ; y ; z $ thỏa mãn $ x(x+y+z) \ = \ 3yz$

Chứng minh bất đẳng thức : $ (x+y)^3 + (x+z)^3 + 3(x+y)(y+z)(z+x) \ \leq \ 5(y+z)^3$

Làm bài này lại nhớ 1 năm trước ngồi bất lực trong phòng thi image004.gif

Lời giải : Đặt $ a= x+y ; b = x+z $

Ta có : $ x(x+y+z) \ = \ 3yz \Rightarrow x^2 + xy + xz + yz = 4yz \Rightarrow (x+y)(x+z) = 4yz$
Dễ thấy : $ (a-b)^2 = (y-z)^2 ; ab = 4yz $

Ta có : $ a^3 + b^3 = (a+b)( a^2 - ab +b^2 ) $

$ a+b \ \leq \ \sqrt{2(a^2 +b^2 )} = \sqrt{2((a-b)^2+ 2ab )} = \sqrt{2((y-z)^2+ 8yz )} =\sqrt{2((y+z)^2+ 4yz )} \ \leq \ \sqrt{4(y+z)^2 } = 2(y+z) (*) $

Và $ ( a^2 - ab +b^2 ) = (a-b)^2 + ab = (y-z)^2 + 4yz = (y+z)^2 (**)$

Từ $(*) ; (**) \Rightarrow a^3 + b^3 \ \leq \ 2(y+z)^3 \ \ (1)$

$ 3(x+y)(y+z)(z+x) = 12(yz)(y+z)= 3(4yz)(y+z) \ \leq \ 3(y+z)^2 (y+z) = 3(y+z)^3 \ \ (2)$

Từ $(1);(2)$ ta cộng các bất đẳng thức vế theo vế và suy ra điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 31-08-2013 - 12:46

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2 duca1pbc

duca1pbc

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 190 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vinh

Đã gửi 04-07-2009 - 11:35

Bài này xài biến đổi tương đương cho gọn :)
$(x+y)^3+(x+z)^3=(2x+y+z)((x+y)^2-(x+y)(x+z)+(x+z)^2)$
$=(2x+y+z)(y^2-yz+z^2+x^2+xy+xz)$
$=(2x+y+z)(y^2-yz+z^2+3yz)=(2x+y+z)(y+z)^2$
Thế vào,khử $(y+z)$ ta đc:
$(2x+y+z)(y+z)+3(x+y)(x+z) \le 5(y+z)^2$
$\leftrightarrow 4(y+z)^2-5x(y+z)-3x^2-3xy \ge 0$
$\leftrightarrow 4(y+z)^2-6x(y+z)-4x^2 \ge 0$
$\leftrightarrow 2(y+z-2x)(2(y+z)+x) \ge 0$
$\leftrightarrow y+z \ge 2x$
Từ giả thiết ta có $4x(x+y+z) \le 3(y+z)^2$
$\leftrightarrow (y+z-2x)(3(y+z)+2x)) \ge 0$
$\leftrightarrow y+z \ge 2x $
Xong!

#3 mai quoc thang

mai quoc thang

    Thắng yêu Dung

  • Thành viên
  • 251 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:......

Đã gửi 04-07-2009 - 16:52

Cảnh cáo supermember về những lời nói thiếu kiềm chế . Bạn có nhiều những bài viết mang tính đóng ghóp cho diễn đàn nhưng rất hay áất tự chủ trong lời ăn , tiếng nói .

#4 MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thị Xã Sadec
  • Sở thích:Thích nhất là "đánh ba",đi chơi với bạn gái

Đã gửi 13-07-2009 - 15:46

Từ gt ta có $ (x+y)(x+z)=4yz :D=> x \leq \sqrt{yz} \leq \dfrac{y+z}{2} => x^3 \leq yz\sqrt{yz} $

Thay :D vào $ VT = 2x^3 +(y^3+z^3)+ 3x^2(y+z) +3x(y^2+z^2) + 12yz(y+z) $
$ VP= 5(y^3+z^3)+15yz(y+z) $

VP-VT = $ 4(y^3+z^3)+3yz(y+z)-2x^3-3x^2(y+z)-3x(y^2+z^2) \geq 3(y^3+z^3-\sqrt{yz}(y^2+z^2)) $
=> $ VP-VT \geq 3(y^3+z^2- \dfrac{y+z}{2}(y^2+z^2)) = \dfrac{3}{2}(y^3+z^3-yz(y+z)) \geq 0 $

#5 tranquocluat_ht

tranquocluat_ht

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 236 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Giáo viên Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh
  • Sở thích:Sáng tạo

Đã gửi 14-07-2009 - 09:24

Thân tặng:

http://www.maths.vn/...1038#post131038

#6 mai quoc thang

mai quoc thang

    Thắng yêu Dung

  • Thành viên
  • 251 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:TP HCM
  • Sở thích:......

Đã gửi 15-07-2009 - 16:48

Tớ giải lâu rồi trên mathlinks Materazzi

:D

#7 Nguyễn Hưng

Nguyễn Hưng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 140 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 19-12-2011 - 20:50

Đây là lời giải em nghĩ ra hồi năm lớp 10. Công sức một tiếng đồng hồ đấy :-s
http://hizact.wordpr...hối-a-nam-2009/

#8 T M

T M

    Trung úy

  • Thành viên
  • 926 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\infty$

Đã gửi 01-01-2012 - 21:11

Hình đã gửi bạn nào giải thíc hộ mình chỗ này ko?" $(y^{3}+z^{3})2\geq (y^{2}+z^{2})^{2}(y^{2}+z^{2})$ ?????????????????????
ĐCG !




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh