Đến nội dung

Hình ảnh

Pro số học mời vô

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
cvp

cvp

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 400 Bài viết
Bài toán:Với số nguyên dương $n$ kí hiệu $\varphi (n)$ là số viết theo thứ tự đảo ngược của $n$ chẳng hạn $\varphi (1961)=1691$.Chứng minh rằng với cặp số nguyên dương $a,b$ các số $4a^2+ \varphi (b)$ và $4b^2+\varphi (a)$ không đông thời là số chính phương!

Hình đã gửi


#2
phong than

phong than

    Đại Sư

  • Thành viên
  • 274 Bài viết
Giả sử $a\geq b$. Ta có:
$(2a)^2<4a^2+\phi(b)<(2a+3)^2$.
Suy ra $\phi(b)=4a+1, 8a+4$.
Nếu $\phi(b)=8a+4$. Suy ra chữ số đầu tiên của $b$ phải là chẵn, kéo theo $8a+4=\phi(b)<5b\leq 5a$(Vô lí).
Nếu $\phi(b)=4a+1$. Từ đây suy ra số các chữ số của $a, b$ là bằng nhau do đó $\phi(a)<10b$
Suy ra $\phi(a)=4b+1, 8b+4$. Chú ý rằng số các chữ số của $a, b$ là bằng nhau nên ta dễ dàng suy ra :$\phi(a)=4b+1$.
Từ đây ta có $3a+1$ chia hết cho 9.(Vô lí)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong than: 08-07-2009 - 17:43


#3
- Nguyên Lê -

- Nguyên Lê -

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết

Giả sử $a\geq b$. Ta có:
$(2a)^2<4a^2+\phi(b)<(2a+3)^2$.
Suy ra $\phi(b)=4a+1, 8a+4$.
Nếu $\phi(b)=8a+4$. Suy ra chữ số đầu tiên của $b$ phải là chẵn, kéo theo $8a+4=\phi(b)<5b\leq 5a$(Vô lí).
Nếu $\phi(b)=4a+1$. Từ đây suy ra số các chữ số của $a, b$ là bằng nhau do đó $\phi(a)<10b$
Suy ra $\phi(a)=4b+1, 8b+4$. Chú ý rằng số các chữ số của $a, b$ là bằng nhau nên ta dễ dàng suy ra :$\phi(a)=4b+1$.
Từ đây ta có $3a+1$ chia hết cho 9.(Vô lí)

Các anh có thể giải thích cho em hiểu tại sao lại dễ dàng suy ra $\phi(a)=4b+1$ được không ạ?

#4
phong than

phong than

    Đại Sư

  • Thành viên
  • 274 Bài viết

Các anh có thể giải thích cho em hiểu tại sao lại dễ dàng suy ra $\phi(a)=4b+1$ được không ạ?

Nếu $\phi(a)=8b+4$ thì chữ số đầu tiên của $a$ chẵn.
Vì $\phi(b)=4a+1$ nên chữ số này phải là 2 và chữ số đầu tiên của $b$ là $8,9$.
Song điều này là vô lý vì khi đó $\phi(a)=8b+4$ có nhiều chữ số hơn $a$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong than: 04-10-2009 - 08:24


#5
- Nguyên Lê -

- Nguyên Lê -

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết

Nếu $\phi(a)=8b+4$ thì chữ số đầu tiên của $a$ chẵn.
Vì $\phi(b)=4a+1$ nên chữ số này phải là 2 và chữ số đầu tiên của $b$ là $8,9$.
Song điều này là vô lý vì khi đó $\phi(a)=8b+4$ có nhiều chữ số hơn $a$.

Tại sao chữ số đầu tiên của b là 8, 9 ạ? Phải là chữ số cuối cùng của b là 8, 9 chứ ạ :D

#6
phong than

phong than

    Đại Sư

  • Thành viên
  • 274 Bài viết
Uk. Anh nhầm lẫn chút.
Chữ số cuối cùng của $b$ là $8,9$ nên chữ số cuối cùng của $8b+4$ là $8,6$ và cũng là chữ số đầu tiên của $a$, mâu thuẫn.




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh