Đề thi vào lớp 10 chuyên toán PTNK ĐHQG TP.HCM
Năm học 2005-2006
Câu 1:
a) Cho a, b ] 0, $2p^2+1$ không phải là số nguyên tố.
b) Tính tổng các số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà trong cách viết thập phân của chúng không chứa chữ số 4 và chữ số 5
c) Cho tam thức bậc hai $P(x^2-2)=P^2(x)-2$. Chứng minh rằng P(–x) = P(x) với mọi x.
Câu 3: Cho tam giác nhọn ABC. Điểm D đi động trên cạnh BC. Gọi $AO_1O_2$. Hãy xác định vị trí điểm D trên BC sao cho IO nhỏ nhất.
Câu 4:
a) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1. M là một điểm bất kỳ nằm trong hình vuông. Chứng minh rằng $MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2\ge 2$.
b) Cho x, y, z, t là các số thực bất kỳ thuộc đọan [0, 1]. Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức $x(1-y) + y(1-z) + z(1-t) + t(1-x) \le 2$.
Câu 5:
Xét 81 chữ số, trong đó có 9 chữ số 1, 9 chữ số 2, …, 9 chữ số 9. Hỏi có thể xếp được hay không tất cả các chữ số này thành một dãy, sao cho với mọi
k = 1, 2, …., 9, trong mỗi khoảng giữa hai chữ số k liên tiếp ở trên dãy có đúng
k chữ số ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 12-05-2009 - 23:28