Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm MAX của $P=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ac}{b^2a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 16 trả lời

#1
nguyenminhtrai

nguyenminhtrai

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác thỏa mãn:abc=1
Tìm MAX của $P=\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ac}{b^2a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^2b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-03-2012 - 17:53

KHÔNG CÓ GÌ LÀ KHÔNG THỂ ĐỐI VỚI MỖI CON NGƯỜI!!!!!!!!!

#2
lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
Không biết bài này có sự nhầm lẫn gì không. Các biến dương, bình đẳng, nếu xảy ra khi $a=b=c$ thì $P=\frac{3}{2}$
Mà ta lại có bài toán quen thuộc sau:
$P=\frac{1}{a^{3}\left ( b+c \right )}+\frac{1}{b^{3}\left ( c+a \right )}+\frac{1}{c^{3}\left ( a+b \right )}\geq \frac{3}{2}$.

Chọn $a=k$, $b=c=\frac{1}{\sqrt{k}}$ $\left ( k>0 \right )$.
Khi đó $P=\frac{1}{k^{2}\sqrt{k}}+\frac{2k^{2}}{k\sqrt{k}+1}$.
Cho $k\rightarrow 0$ ta thấy $P\rightarrow +\infty$.
Do đó biểu thức không có giá trị lớn nhất.

#3
ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết

Chọn $a=k$, $b=c=\frac{1}{\sqrt{k}}$ $\left ( k>0 \right )$.
Khi đó $P=\frac{1}{k^{2}\sqrt{k}}+\frac{2k^{2}}{k\sqrt{k}+1}$.
Cho $k\rightarrow 0$ ta thấy $P\rightarrow +\infty$.
Do đó biểu thức không có giá trị lớn nhất.

Nhưng a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác mà, chọn như vậy chắc gì đã thỏa mãn bđt tam giác ?

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#4
robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 207 Bài viết

Nhưng a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác mà, chọn như vậy chắc gì đã thỏa mãn bđt tam giác ?

Nó vẫn thỏa bạn à.... b,c tiến tới rất lớn, a tiến tới rất nhỏ :')
^^~

#5
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết
Bài này sai đề rồi :-"
Chọn như anh lehoanghiep chắc chắn $a,b,c$ thỏa là 3 cạnh tam giác, nói chung là đề sai :")
“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#6
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
Do a,b,c là ba cạnh tam giác nên từ abc=1 suy ra $a\leq 1, b\leq 1, c\leq 1$
Theo Cauchy và giả thiết abc=1 ta có
$P\leq \frac{b^{3}c^{3}}{b+c}+\frac{a^{3}c^{3}}{a+c}+\frac{a^{3}b^{3}}{a+b}\leq\frac{(b+c)^{5}}{2^{6}}+\frac{(a+c)^{5}}{2^{6}}+\frac{(a+b)^{5}}{2^{6}}\leq \frac{2^{5}}{2^{6}}+\frac{2^{5}}{2^{6}}+\frac{2^{5}}{2^{6}}\Leftrightarrow P\leq \frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

Do đó Max P=$\frac{3}{2}$ khi a=b=c=1

Điều quan trọng ở đây là abc=1 và a, b, c là 3 cạnh của tam giác

#7
lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết

Do a,b,c là ba cạnh tam giác nên từ abc=1 suy ra $a\leq 1, b\leq 1, c\leq 1$

Cái này là cho $a=b=c=1$ rồi chứ chứng minh gì nữa.

#8
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
không phải cho, bạn thử tìm xem 3 cạnh tam giác có tích bằng 1 thì cạnh lớn hơn 1 hay không.

#9
ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết
Sau khi nghĩ lại, có vẻ đầu bài sai thật (ăn cắp ý tưởng anh lehoanghiep 1 tí)
giả sử: $0 < m < 1, a=m^2, b = \frac{1}{m}$
$$
a=m^2 < \frac{2}{m} = b + c,
b = \frac 1 m < \frac 1 m + m^2 = a + c,
c = \frac 1 m < \frac 1 m + m^2 = a + b
$$
=> thỏa mãn bđt tam giác
$$\frac{bc}{a^{2}b+a^{2}c}+\frac{ac}{b^{2}a+b^2c}+\frac{ab}{c^2a+c^{2}b} > \frac{bc}{a^{2}b+a^{2}c} = \frac 1 {a^3(b +c)} = \frac 1 {2m^5}$$
$m$ càng nhỏ thì $P$ càng lớn => $m = 0,(0)1$ (viết là càng nhỏ => càng lớn thì không đúng lắm, chuẩn ra là với giá trị m nhỏ vô cùng ta tìm được P với giá trị lớn vô cùng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 23-11-2012 - 21:09

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#10
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

không phải cho, bạn thử tìm xem 3 cạnh tam giác có tích bằng 1 thì cạnh lớn hơn 1 hay không.

Thế bộ $(a;b;c)=\left(\frac{3}{2};\frac{2}{3};1 \right)$ thì sao nhỉ :)
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#11
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Sau khi nghĩ lại, có vẻ đầu bài sai thật
giả sử: $0 < m < 1, a=m^2, b = \frac{1}{m}$
$$
a=m^2 \le \frac{2}{m} = b + c
b = \frac 1 m \le \frac 1 m + m^2 = a + c
c = \frac 1 m \le \frac 1 m + m^2 = a + b
$$

không thể giả sử như vậy được

Thế bộ $(a;b;c)=\left(\frac{3}{2};\frac{2}{3};1 \right)$ thì sao nhỉ :)

nhưng 3/2+1< 2/3

#12
ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết

không thể giả sử như vậy được

Why ?$abc = 1$ đúng luôn, bất đẳng thức tam giác cũng đúng luôn. khi $a=b=c=1$ thì P min chứ không max
bên trên bạn viết $3/2+1< 2/3$ là thế nào thế :ohmy:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 23-11-2012 - 21:00

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#13
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

không thể giả sử như vậy được

Mình mong là bạn đọc thật kỹ bài post của ilovelife trước khi đưa những nhận xét kiểu này.Bạn ấy đang đưa ra 1 phản ví dụ cho bài này đó,trong đó có giải thích luôn tại sao đề bài sai.:)
P/s:Bạn còn post bài kiểu này là mình xóa luôn,không báo trước.Thân.
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#14
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
Giả sử P đạt giá trị lớn nhất
$\Rightarrow P\neq +\propto, a=p, b=c=q, pq^{2}=1, 2q>p>0$
$\Rightarrow P=\frac{q^{3}}{2pq^{2}}+\frac{2pq^{2}}{q^{3(p+q)}}=\frac{q^{3}}{2}+\frac{2}{q^{4}+q}, Do \lim_{q \to +\infty }\frac{q^{3}}{2}=+\propto, \lim_{q \to +\infty }\frac{2}{q^{4}+q}=0 \Rightarrow \lim_{q \to +\infty }=+\propto$
Trái giả thuyết
Vậy P không đạt giá trị lớn nhất

Giả sử P đạt giá trị lớn nhất
$\Rightarrow P\neq +\propto, a=p, b=c=q, pq^{2}=1, 2q>p>0$
$\Rightarrow P=\frac{q^{3}}{2pq^{2}}+\frac{2pq^{2}}{q^{3(p+q)}}=\frac{q^{3}}{2}+\frac{2}{q^{4}+q}, Do \lim_{q \to +\infty }\frac{q^{3}}{2}=+\propto, \lim_{q \to +\infty }\frac{2}{q^{4}+q}=0 \Rightarrow \lim_{q \to +\infty }P=+\propto$
Trái giả thuyết
Vậy P không đạt giá trị lớn nhất



#15
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Chấm bài
Primary: 10 điểm
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#16
dinhthanhhung

dinhthanhhung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

Do a,b,c là ba cạnh tam giác nên từ abc=1 suy ra $a\leq 1, b\leq 1, c\leq 1$
Theo Cauchy và giả thiết abc=1 ta có
$P\leq \frac{b^{3}c^{3}}{b+c}+\frac{a^{3}c^{3}}{a+c}+\frac{a^{3}b^{3}}{a+b}\leq\frac{(b+c)^{5}}{2^{6}}+\frac{(a+c)^{5}}{2^{6}}+\frac{(a+b)^{5}}{2^{6}}\leq \frac{2^{5}}{2^{6}}+\frac{2^{5}}{2^{6}}+\frac{2^{5}}{2^{6}}\Leftrightarrow P\leq \frac{3}{2}$
Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

Do đó Max P=$\frac{3}{2}$ khi a=b=c=1

Điều quan trọng ở đây là abc=1 và a, b, c là 3 cạnh của tam giác


giả sử như vậy thì abc<=1 ??? dấu = xảy ra luôn rồi còn gì

#17
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

giả sử như vậy thì abc<=1 ??? dấu = xảy ra luôn rồi còn gì

Tôi giải lại rồi




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh