Chủ đề này có 9 trả lời

[cvp]

Bài toán này chắc các bạn đã thấy lời giải trong quyển STBĐT nhưng nó có nhiều cách giải rất hay khác!
Mọi người thử làm xem sao nhé càng nhiều cách càng tốt!
Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:
$\dfrac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b(c+a)}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge 2$

[tuan101293]

Bài toán này chắc các bạn đã thấy lời giải trong quyển STBĐT nhưng nó có nhiều cách giải rất hay khác!
Mọi người thử làm xem sao nhé càng nhiều cách càng tốt!
Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:
$\dfrac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b(c+a)}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge 2$

Mình có bdt khác mạnh hơn:
CMR:với a.b.c>0 ta có
$\dfrac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b(c+a)}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge 2+3\sqrt[3]{\dfrac{a^2b^2c^2*3(ab^2+bc^2+ca^2)(a^2b+b^2c+c^2a)(\prod (a-b))^2}{\prod (a^2+ab+b^2)}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 11-07-2009 - 11:36

[cvp]

Mình có bdt khác mạnh hơn:
CMR:với a.b.c>0 ta có
$\dfrac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b(c+a)}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge 2+3\sqrt[3]{\dfrac{a^2b^2c^2*3(ab^2+bc^2+ca^2)(a^2b+b^2c+c^2a)(\prod (a-b))^2}{\prod (a^2+ab+b^2)}}$

Chà chà cậu này mạnh tay ghê nhỉ.Vậy cho mình lời giải bài đó nhé!Và thử làm bài toán trên bằng những cách sơ cấp nhất xem sao!!

[nguyen_ct]

tên này giải thì chỉ có quy đồng khử mẫu sau đó thì ....

[Toanlc_gift]

Bài toán này chắc các bạn đã thấy lời giải trong quyển STBĐT nhưng nó có nhiều cách giải rất hay khác!
Mọi người thử làm xem sao nhé càng nhiều cách càng tốt!
Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:
$\dfrac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b(c+a)}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge 2$

lời giải ngắn nhất: (it's me)
$\Leftrightarrow \sum {ab({a^2} + ab + {b^2}){{(a - b)}^2}} \ge 0$

[Toanlc_gift]

cái bài của ông tuan101293 có thể giải đơn giản dựa theo cách của tôi
(hình như là dùng 1 phát AM-GM là đc)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanlc_gift: 11-07-2009 - 12:49

[cvp]

lời giải ngắn nhất: (it's me)
$\Leftrightarrow \sum {ab({a^2} + ab + {b^2}){{(a - b)}^2}} \ge 0$

ax ông Toàn ghi thế này thì lo chả ngắn.Nghĩ hướng giải đẹp đẹp tí chứ nhân tất thế này thì buffalo wa!
Hi đã đc 1 cách,vẫn còn đó.típ tục nhé! ^^

[Toanlc_gift]

ax ông Toàn ghi thế này thì lo chả ngắn.Nghĩ hướng giải đẹp đẹp tí chứ nhân tất thế này thì buffalo wa!
Hi đã đc 1 cách,vẫn còn đó.típ tục nhé! ^^

Này thì cổ điển:
$\left( {\sum {\dfrac{{a(b + c)}}{{{b^2} + bc + {c^2}}}} } \right)\left( {\sum {\dfrac{{a({b^2} + bc + {c^2})}}{{b + c}}} } \right) \ge \sum {{{(a + b + c)}^3}}$
chỉ cần chứng minh:
${(a + b + c)^2} \ge 2\sum {\dfrac{{a({b^2} + bc + {c^2})}}{{b + c}}}$
$\Leftrightarrow \sum {{a^2}} + 2abc\sum {\dfrac{1}{{a + b}} \ge 2\sum {ab} }$
theo AM-GM và Schur thì:
$VT \ge \sum {{a^2}} + \dfrac{{9abc}}{{a + b + c}} \ge 2(ab + bc + ca)$
bài toán đc chứng minh xong

[cvp]

ổn đó 2cách rùi nhỉ.tui cách 3 nha:
$\dfrac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}=\dfrac{a(b+c)(ab+bc+ca)}{(b^2+bc+c^2)(ab+bc+ca)}\ge \dfrac{4a(b+c)(ab+bc+ca)}{(ab+bc+ca+b^2+bc+c^2)^2}=\dfrac{4a(ab+bc+ca)}{(b+c)(a+b+c)^2}$
Tương tự ta cần cm: $\sum \dfrac{4a(ab+bc+ca)}{(b+c)(a+b+c)^2}\ge 2$
$\Leftrightarrow \sum \dfrac{a}{b+c}\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}$
Cái này hiển nhiên đúng theo Cauchy-Schwarz!
Cách này hay chứ??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cvp: 11-07-2009 - 13:24

[nguyen xuan huy]

Bài toán này chắc các bạn đã thấy lời giải trong quyển STBĐT nhưng nó có nhiều cách giải rất hay khác!
Mọi người thử làm xem sao nhé càng nhiều cách càng tốt!
Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:
$\dfrac{a(b+c)}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{b(c+a)}{c^2+ca+a^2}+\dfrac{c(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge 2$

Bạn có thể xem ở đây

Hình gửi kèm

•