Chủ đề này có 7 trả lời

[.:MGlacier:.]

Cho $a \geq b \geq c > 0$. CMR:
$ \dfrac{a^{7}}{a^{6}+b^{6}}+\dfrac{b^{7}}{b^{6}+c^{6}}+\dfrac{c^{7}}{c^{6}+a^{6}} \geq \dfrac{a+b+c}{2}$

Bài này em chưa giải được tổng quát $a,b,c$ dương bất kì. Bác nào có cao kiến thì cho em xin giác ngộ

[.:MGlacier:.]

Bài này em đang rất quan tâm. Bác nào có cao kiến thì vào trao đổi (bài toán chưa chắc đúng với $a,b,c$ dương bất kì).!

[Toanlc_gift]

Cho $a \geq b \geq c > 0$. CMR:
$ \dfrac{a^{7}}{a^{6}+b^{6}}+\dfrac{b^{7}}{b^{6}+c^{6}}+\dfrac{c^{7}}{c^{6}+a^{6}} \geq \dfrac{a+b+c}{2}$

Bài này em chưa giải được tổng quát $a,b,c$ dương bất kì. Bác nào có cao kiến thì cho em xin giác ngộ

bài toán tổng quát hiện vẫn là một bài toán mở

[.:MGlacier:.]

bài toán tổng quát hiện vẫn là một bài toán mở

Trước hết bác cứ thử giải bài này xem

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi .:MGlacier:.: 12-07-2009 - 12:27

[Toanlc_gift]

Trước hết bác cứ thử giải bài này xem

tôi không nghĩ là bạn có đủ trình độ để giải bài toán này,
đây là file ghi chứng minh một nửa của bài toán,một nửa còn lại thì chưa chứng minh được
bạn xem ở đây:

File gửi kèm

•  unknown2.pdf   137.09K   161 Số lần tải

[mai quoc thang]

Cho $a \geq b \geq c > 0$. CMR:
$ \dfrac{a^{7}}{a^{6}+b^{6}}+\dfrac{b^{7}}{b^{6}+c^{6}}+\dfrac{c^{7}}{c^{6}+a^{6}} \geq \dfrac{a+b+c}{2}$

Bài này em chưa giải được tổng quát $a,b,c$ dương bất kì. Bác nào có cao kiến thì cho em xin giác ngộ

Trường hợp $ a \geq b \geq c $ là hiển nhiên rồi mà cậu ???? Nói cái câu " thách thức " quả ko nên chút nào

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :

$ (a-c)\dfrac{a^6-b^6}{a^6+b^6}+(b-c)\dfrac{b^6-c^6}{b^6+c^6}-c\dfrac{(a^6-b^6)(b^6-c^6)(c^6-a^6)}{(a^6+b^6)(b^6+c^6)(c^6+a^6)} \geq 0 $

Cái này hiển nhiên đúng với $ a \geq b \geq c $

Trong trường hợp a , b , c dương bất kỳ có thể tham khảo trong quyển " kim cương " hoặc trong cái file cậu Toàn up lên ấy

[.:MGlacier:.]

tôi không nghĩ là bạn có đủ trình độ để giải bài toán này,
đây là file ghi chứng minh một nửa của bài toán,một nửa còn lại thì chưa chứng minh được
bạn xem ở đây:

hehe, ai không đủ trình để giải mới phải trích file bài giải của người khác chứ nhỉ
đùa thôi, hình như bạn có vẻ căng thẳng thái quá với 2 chữ "thách thức" nhỉ. mình bỏ toán sơ cấp cũng 1 năm nay rồi, trường hợp này là do năm ngoái nghịch nghịch tìm ra cách giải [khác với cách của anh Hùng mà bạn gửi kèm file và trước đó mình cũng chưa từng xem qua cách giải này] nên mới post lên đây góp vui thôi
mình còn post nhiều bài, nếu rảnh thì bạn sang cho ý kiến nhé, hehe. dù sao cũng cám ơn bạn về file lời giải của anh Hùng mà bạn gửi kèm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi .:MGlacier:.: 12-07-2009 - 17:47

[nguyen_ct]

Trường hợp $ a \geq b \geq c $ là hiển nhiên rồi mà cậu ???? Nói cái câu " thách thức " quả ko nên chút nào

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :

$ (a-c)\dfrac{a^6-b^6}{a^6+b^6}+(b-c)\dfrac{b^6-c^6}{b^6+c^6}-c\dfrac{(a^6-b^6)(b^6-c^6)(c^6-a^6)}{(a^6+b^6)(b^6+c^6)(c^6+a^6)} \geq 0 $

Cái này hiển nhiên đúng với $ a \geq b \geq c $

Trong trường hợp a , b , c dương bất kỳ có thể tham khảo trong quyển " kim cương " hoặc trong cái file cậu Toàn up lên ấy

hi vọng mình có thể giải quyết nốt nửa sau của bdt này
giả sử $c;min$ với trường hợp $a \ge b\ge c$ thì anh Thắng đã làm ở bên trên
cònvới trường hợp $b \ge a \ge c$
ta có BDT tương đương với
$VT=\dfrac{a}{1+\dfrac{b^6}{a^6}}+\dfrac{b}{1+\dfrac{c^6}{a^6}}+\dfrac{c}{1+\dfrac{a^6}{c^6}}$
ta có
$a \le b;\dfrac{1}{1+\dfrac{b^6}{a^6}} \le \dfrac{1}{1+\dfrac{c^6}{b^6}}$
nên
$\dfrac{a}{1+\dfrac{b^6}{a^6}}+\dfrac{b}{1+\dfrac{c^6}{a^6}} \ge\dfrac{a+b}{1+\sqrt{\dfrac{c^6}{a^6}}} \ge \dfrac{a+b}{1+\dfrac{c^6}{a^6}} $
khi đó ta còn
$VT \ge \dfrac{a+b}{1+x}+\dfrac{c}{1+y} \ge \dfrac{a+b+c}{2};xy=1$
ta xét BDT
$\dfrac{A}{1+x}+\dfrac{B}{1+y} \ge \dfrac{A+B}{2}(1);xy=1$
thì (1)tương đương với $(A-B)(y-x) \ge 0$
thay $A=a+b;B=c;x=\dfrac{c^6}{a^6};y=\dfrac{a^6}{c^6}$ vào thì ta có đpcm
cầu mong kok sai