Chủ đề này có 9 trả lời

[chuyentoan]

Tam giác $ABC$ cân tại $A$. Đường phân giác của các góc $\hat{CAB}$ và $\hat{ABC}$ cắt các cạnh $BC$ và $CA$ tại $D$ và $E$. Gọi $K$ là tâm nội tiếp tam giác $ADC$. Giả sử rằng $\hat{BEK}=45°$. Tìm tất cả các giá trị có thể của góc $\hat{CAB}$.

[cvp]

Tam giác $ABC$ cân tại $A$. Đường phân giác của các góc $\hat{CAB}$ và $\hat{ABC}$ cắt các cạnh $BC$ và $CA$ tại $D$ và $E$. Gọi $K$ là tâm nội tiếp tam giác $ADC$. Giả sử rằng $\hat{BEK}=45°$. Tìm tất cả các giá trị có thể của góc $\hat{CAB}$.

Hơ hơ đề năm nay lạ thế nhỉ?mà bài hình này chỉ tính toán thui

[Hoàng Sơn 9/3]

ko Hiểu hình như 2 bài hình năm nay là cho điểm

[Toanlc_gift]

mấy bài hình năm nay chả bù với bài hình năm ngoái
không bik là pác giáo sư nào ra đề nữa

[Allnames]

của Jan Vonk, Belgium, Peter Vandendriessche, Belgium and Hojoo Lee, Korea.
Quan trọng là ai làm được như trong lời giải của mấy ổng mới tài. Chứ chắc tính toán thì nói lmaf gì.
2 Bài hình dễ mà bù cho bài đại với tổ hợp chứ.
http://ideahitme.wor...07/16/50th-imo/
lời giải của 3 ông đó ở here ấy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo thanh van: 17-07-2009 - 08:42

[H.Quân- ĐHV]

mấy bài hình năm nay chả bù với bài hình năm ngoái
không bik là pác giáo sư nào ra đề nữa

ừ ,bài hình năm ngoái lời giải quá hay, rất đẹp. Năm nay huy chương bạc chắc nhiều

[Pirates]

2 bài Hình đúng là bù cho mấy bài Đại với tổ hợp, ác liệt quá. Năm nay chắc đoàn VN mình chém gọn chứ, chắc ít nhất phải có 3 V.

[vo thanh van]

Có ai thử cái lời giải bằng pp toạ độ ko nhỉ?

[H.Quân- ĐHV]

Tam giác $ABC$ cân tại $A$. Đường phân giác của các góc $\hat{CAB}$ và $\hat{ABC}$ cắt các cạnh $BC$ và $CA$ tại $D$ và $E$. Gọi $K$ là tâm nội tiếp tam giác $ADC$. Giả sử rằng $\hat{BEK}=45°$. Tìm tất cả các giá trị có thể của góc $\hat{CAB}$.

Tớ giải cụ thể xem sao:
$O=BE \cap AD$.Đặt $AB=AC=b, BC=a $
TH1: $E $đối xứng với$ D $qua $CO$ khi đó $CE=CD= \dfrac{a}{2} $. ta có $ \dfrac{CE}{EA} = \dfrac{b}{a} \Rightarrow \dfrac{b-\dfrac{a}{2} }{\dfrac{a}{2}}=\dfrac{b}{a}$ dến đây suy ra $a=b$ nên $ \widehat{BAC} = 60^{0}.$
TH2: nếu ko đối xứng thì Gọi F là điểm đx với D qua CO khi đó $\widehat{OFK} = \widehat{ODK} = 45^0.$ nên tứ gíac OEFK nội tiếp, nến $ \widehat{EOK} = \widehat{KFC} = \widehat{KDC} = 45^0$ nên $45 = 90 - \dfrac{A}{2}$ nên A=90
Vậy góc A có thể là 60 hoặc 90

[Mashimaru]

Đây là lời giải của em trong lúc thi, không hiểu sao hôm ấy bị con gì cắn mà không nhìn ra lời giải thuần túy nữa. Ôi...em rất là buồn >.<

Đặt $BC=a,AB=AC=b$, sau đó, "chỉ cần" 3 trang giấy thi với "những biến đổi đơn giản", ta thu được điều kiện cần và đủ để $\widehat{BEK}=45^o$ là:

$\dfrac{2a^2(a-b)^2(a^2-2b^2)}{(a+b)^4(2b-a)^2}\times M(a,b)=0$

Trong đó $M(a,b)$ là đa thức bậc bốn, thuần nhất theo $a,b$ và luôn dương với điều kiện $0<a<2b$.

Từ đó suy ra $\widehat{BAC}=60^o$ hoặc $\widehat{BAC}=90^o$.