Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC
cot(A/2) + cot(B/2) + cot(C/2) = cot(A/2) .cot(B/2) .cot(C/2)
cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1
tan(A/2) .tan(B/2) + tan(B/2) .tan(C/2) + tan(C/2) .tan(A/2) = 1
cosA + cosB + cosC = 1 + 4.sin(A/2) .sin(B/2) .sin(C/2)
cos^2 A + cos^2 B + cos^2 C = 1 - 2.cosA.cosB.cosC
sin2A + sin2B + sin2C = 4.sinA.sinB.sinC
cos2A + cos2B + cos2C = -1 - 4.cosA.cosB.cosC
Bài này hầu như các quyển sách nào cũng nói tới. Nhất là mấy cuốn cua Thầy Trần Phương và Thầy Khải về phần lượng giác. Chúng ta có 10 đẳng thức cơ bản về lượng giác mà cần ghi nhớ (ở đây bạn còn thiếu 2 nữa).
Bây giờ để trình bày chứng minh hết bọn này thì sẽ rất mất thời gian vì vậy tôi sẽ đưa ra bài toán tổng quát nhất cho việc chứng minh tất cả các bài toán trên!:
1. Cho a,b,c tùy ý. Chứng minh rằng:
$ Sina + Sinb + Sinc - Sin(a+b+c) =4sin$$\dfrac{a+b}{2}$$.sin$ $\dfrac{b+c}{2}$$.sin$$ \dfrac{c+a}{2}$ .
$ Cosa + Cosb + Cosc + Cos(a+b+c) =4cos$$\dfrac{a+b}{2}$$.cos$ $\dfrac{b+c}{2}$$.cos$$ \dfrac{c+a}{2}$.
2.Lời giải: Cả hai bài này cách giải tương tự nhau đó là sử dụng các công thức cơ bản của lượng giác:
sina + sinb = 2sin$\dfrac{a+b}{2}$.cos$\dfrac{a+b}{2}$.
sina - sin (a+b+c) =-2cos$\dfrac{a+b+2c}{2}$.sin$\dfrac{a+b}{2}$.
Sau đó nhóm sin$\dfrac{a+b}{2}$ lại tiếp tục sử dụng :
cos$\dfrac{a+b}{2}$ - cos$\dfrac{a+b+2c}{2}$= 2$.sin$ $\dfrac{b+c}{2}$$.sin$$ \dfrac{c+a}{2}$ .
Vậy là ta đã có công thức 5;6;7;8 đã được chứng minh vì khi đó a+b+c=
Còn các công thức còn lại thật quá là dễ dang phải không. Chỉ cần biến đổi một chút là ra liền.
Nhưng có một lưu ý là 10 công thức( kể cả 2 công thức thêm của tớ) các bạn phai thuộc lòng như Hằng Đẳng thức đáng nhớ thi may ra mới có thể làm các bài toán về Hệ Thức Lượng Giác.
