1/gọi $ m_a, m_b,m_c$ là độ dài 3 đường trung tuyến kẻ từ A,B,C của tam giác ABC thì ta dc $m_a^{2}= \dfrac{1}{4} (2b^2+2c^2-a^2)$ và mấy cái tương tự
2/ và cái hệ thức euler giữa tâm đường tròn nội , ngoại tiếp tam giác: gọi r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội ngoại tiếp tam giác ABC, l là khoảng cách giữa 2 cái tâm đó. cm là $ l^2=R^2-2Rr$
1. AM trung tuyến
Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác ABC và tam giác ABM với góc B ta có:
$a^{2} + c^{2} - 2ac cosB = b^{2}$
$2c^{2} + \dfrac{a^{2}}{2} - 2ac cosB = 2m_{a}^{2}$
Trừ hai vế đẳng thức ta có: $m_{a}^{2} = \dfrac{2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}}{4}$
2. O,I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.
Phân giác trong góc A cắt đường tròn ngoại tiếp tại K, là trung điểm cung BC ko chứa A. KM là đường kính vuông góc BC, IY vuôg góc AC.
Ta có: $\widehat{BMK} = \widehat{BAK} = \alpha , \widehat{KBC} = \widehat{KAC} = \beta$
Do là góc ngoài tam giác ABI tại I nên $\widehat{BIK} = \alpha + \beta = \widehat{KBI}$
Tam giác KBI cân: KI=KB. Vậy: $R^{2} - OI^{2} = KI.IA = KB.IA = KM\dfrac{KB/KM}{IY/IA}.IY = KM\dfrac{sin\alpha}{sin\alpha}.IY = KM.IY = 2Rr$
$\Rightarrow OI^{2} = R^{2} - 2Rr$