Chủ đề này có 10 trả lời

[hung0503]

1/gọi $ m_a, m_b,m_c$ là độ dài 3 đường trung tuyến kẻ từ A,B,C của tam giác ABC thì ta dc $m_a^{2}= \dfrac{1}{4} (2b^2+2c^2-a^2)$ và mấy cái tương tự
2/ và cái hệ thức euler giữa tâm đường tròn nội , ngoại tiếp tam giác: gọi r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội ngoại tiếp tam giác ABC, l là khoảng cách giữa 2 cái tâm đó. cm là $ l^2=R^2-2Rr$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hung0503: 21-07-2009 - 18:35

[canhochoi]

Bài 1 trâu bò là ra ! ( Bạn cứ hạ đường cao xuống rồi Pytago mà tiến )
Bài 2 thì dùng tam giác đồng dạng thôi.

[Pirates]

1/gọi $ m_a, m_b,m_c$ là độ dài 3 đường trung tuyến kẻ từ A,B,C của tam giác ABC thì ta dc $m_a^{2}= \dfrac{1}{4} (2b^2+2c^2-a^2)$ và mấy cái tương tự
2/ và cái hệ thức euler giữa tâm đường tròn nội , ngoại tiếp tam giác: gọi r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội ngoại tiếp tam giác ABC, l là khoảng cách giữa 2 cái tâm đó. cm là $ l^2=R^2-2Rr$

1. AM trung tuyến
Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác ABC và tam giác ABM với góc B ta có:
$a^{2} + c^{2} - 2ac cosB = b^{2}$
$2c^{2} + \dfrac{a^{2}}{2} - 2ac cosB = 2m_{a}^{2}$
Trừ hai vế đẳng thức ta có: $m_{a}^{2} = \dfrac{2b^{2} + 2c^{2} - a^{2}}{4}$

2. O,I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.
Phân giác trong góc A cắt đường tròn ngoại tiếp tại K, là trung điểm cung BC ko chứa A. KM là đường kính vuông góc BC, IY vuôg góc AC.
Ta có: $\widehat{BMK} = \widehat{BAK} = \alpha , \widehat{KBC} = \widehat{KAC} = \beta$
Do là góc ngoài tam giác ABI tại I nên $\widehat{BIK} = \alpha + \beta = \widehat{KBI}$
Tam giác KBI cân: KI=KB. Vậy: $R^{2} - OI^{2} = KI.IA = KB.IA = KM\dfrac{KB/KM}{IY/IA}.IY = KM\dfrac{sin\alpha}{sin\alpha}.IY = KM.IY = 2Rr$
$\Rightarrow OI^{2} = R^{2} - 2Rr$

[vuthanhtu_hd]

1/gọi $ m_a, m_b,m_c$ là độ dài 3 đường trung tuyến kẻ từ A,B,C của tam giác ABC thì ta dc $m_a^{2}= \dfrac{1}{4} (2b^2+2c^2-a^2)$ và mấy cái tương tự
2/ và cái hệ thức euler giữa tâm đường tròn nội , ngoại tiếp tam giác: gọi r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội ngoại tiếp tam giác ABC, l là khoảng cách giữa 2 cái tâm đó. cm là $ l^2=R^2-2Rr$

Bài 1 này thì ở THPT là công thức trong SGK(có cả cm) nên em ko cần phải lo đâu

[shayne ward]

ÁP DỤNG: 1/ gọi r,R lần lượt là bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp của tam giác ABC.CM $R \geq 2r$
2/(hình như đã đăng trên THTT): gọi $ m_a,m_b,m_c$ là độ dài 3 trung tuyên tương ứng kẻ từ A,B,C của tam giác ABC và $ h_a,h_b,h_c$ là độ dài 3 đường cao kẻ từ A,B,C tương ứng, S là diện tích tam giác ABC
CM $ (m_a^2+m_b^2+m_c^2)(h_a^2+h_b^2+h_c^2) \geq 27S^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shayne ward: 23-07-2009 - 12:59

[Pirates]

ÁP DỤNG: 1/ gọi r,R lần lượt là bán kính đường tròn nội, ngoại tiếp của tam giác ABC.CM $R \geq 2r$

$R \geq 2r \Leftrightarrow \dfrac{r}{R} \leq \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{r}{R} = \dfrac{\dfrac{S}{p}}{\dfrac{abc}{4S}} = \dfrac{4S^{2}}{pabc} = \dfrac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{pabc} = \dfrac{\dfrac{1}{2}(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{abc}$ (1)

Theo BDT Côsi, ta có: $\sqrt{(c+a-b)(a+b-c)} \leq \dfrac{c+a-b+a+b-c}{2} = a$

Tương tự: $\sqrt{(a+b-c)(b+c-a)} \leq b$ , $\sqrt{(b+c-a)(c+a-b)} \leq c$

$\Rightarrow (b+c-a)(a+b-c)(c+a-b) \leq abc$ (2)

Từ (1),(2): $\dfrac{r}{R} \leq \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow R \geq 2r$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow b+c-a = c+a-b = a+b-c \Leftrightarrow a = b = c \Leftrightarrow \delta ABC$ đều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pirates: 23-07-2009 - 13:45

[shayne ward]

herher, cách bạn đúng rồi nhưng đã gọi là áp dụng sao dài thế hở bạn..., ai còn cách khác........

[Pirates]

herher, cách bạn đúng rồi nhưng đã gọi là áp dụng sao dài thế hở bạn..., ai còn cách khác........

Ok, còn một cách nữa nè:
Ta có: $S = pr = \dfrac{abc}{4R} \Rightarrow S^{2} = \dfrac{prabc}{4R} \Leftrightarrow p(p-a)(p-b)(p-c) = \dfrac{prabc}{4R}$ (1)

Do $(p-a) > 0 , (p-b) > 0 , (p-c) > 0$ nên theo BDT Côsi: $\sqrt{(p-a)(p-b)} \leq \dfrac{(p-a) + (p-b)}{2} = \dfrac{2p-a-b}{2} = \dfrac{c}{2}$
Tương tự: $\sqrt{(p-c)(p-a)} \leq \dfrac{b}{2} , \sqrt{(p-b)(p-c)} \leq \dfrac{a}{2}$
$\Rightarrow \sqrt{(p-a)(p-b)}.\sqrt{(p-c)(p-a)}.\sqrt{(p-b)(p-c)} \leq \dfrac{1}{8}abc$

Vậy, từ (1) $\Rightarrow \dfrac{prabc}{4R} \leq \dfrac{1}{8}abc$
$\Leftrightarrow \dfrac{r}{R} \leq \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow R \geq 2r$

[shayne ward]

bạn ơi, vẫn còn cách okay hơn đấy, liên hệ với cái bài hình á....

[canhochoi]

Ôi dào, rất đơn giản! Ta có : l^2 = R^2 -2Rr => R^2 >= 2Rr => đpcm

[canhochoi]

Bạn có lầm ko, bài này mà trên THTT thì ai cũng 30s là ra hết đó !
Ta có $\sum m_{a} ^{2} = \dfrac{3}{4} . \sum a^{2} $
$\sum h_{a} ^{2} = 4S^{2} . \sum \dfrac{1}{ a^{2}} $
=> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 24-07-2009 - 14:24