Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Bất đẳng thức nhỏ!


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 lucbinh

lucbinh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Đã gửi 27-07-2009 - 16:04

Chứng minh: ${\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^3} \ge {a^2}\sqrt {\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} {\rm{ }}\left ( {b\sqrt 3 > a > 0} \right)$

#2 drnohad

drnohad

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Đã gửi 27-07-2009 - 19:57

Chứng minh: ${\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^3} \ge {a^2}\sqrt {\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} {\rm{ }}\left ( {b\sqrt 3 > a > 0} \right)$


Với a=b=0.5, BĐT sai !

#3 lucbinh

lucbinh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Đã gửi 27-07-2009 - 20:12

Đẳng thức xảy ra khi a = b đó!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lucbinh: 27-07-2009 - 20:13


#4 drnohad

drnohad

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Đã gửi 27-07-2009 - 21:01

Với a=b=0.5, BĐT sai !


sr, mình nhầm

#5 Toanlc_gift

Toanlc_gift

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 315 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:FU
  • Sở thích:Math

Đã gửi 27-07-2009 - 21:06

Chứng minh: ${\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^3} \ge {a^2}\sqrt {\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} {\rm{ }}\left ( {b\sqrt 3 > a > 0} \right)$

AM-GM thôi mà
$\sqrt {{a^2}.{a^2}.\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} \le \sqrt {\dfrac{{{{\left( {{a^2} + {a^2} + \dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} \right)}^3}}}{{27}}} = ...$

=.=


#6 drnohad

drnohad

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Đã gửi 27-07-2009 - 21:25

AM-GM thôi mà
$\sqrt {{a^2}.{a^2}.\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} \le \sqrt {\dfrac{{{{\left( {{a^2} + {a^2} + \dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} \right)}^3}}}{{27}}} = ...$


Anh ơi coi lại đi, cứ tiếp tục biến đổi sẽ ngược dấu đấy

Em có 1 cách, mấy pác xem giúp
Do VT, VP là các đa thức thuần nhất nên ta chuẩn hóa $3b^2-a^2=2$
:Rightarrow $3b^2=a^2+1+1 \geq 3 \sqrt[3]{a^2} $
:D $b \geq \sqrt[3]{a} $
Do đó chỉ cần cm đc $(\dfrac{a+ \sqrt[3]{a} }{2})^3 \geq a^2$
:) $(a+ \sqrt[3]{a} )^3 \geq 8a^2$
:Rightarrow $a^3+a+3a. \sqrt[3]{a} (a+ \sqrt[3]{a} ) \geq 8a^2$
Áp dụng AM-GM
$a^3+a \geq 2a^2$
$3a. \sqrt[3]{a} (a+ \sqrt[3]{a} ) \geq 3.a \sqrt[3]{a} .2 \sqrt[3]{a^2} =6a^2$
Cộng lại :Rightarrow ĐPCM

P/S: àh, nếu mấy bác xem rồi mà thấy hay thì Thanks em jùm cái ^^ !!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi drnohad: 27-07-2009 - 21:45


#7 Toanlc_gift

Toanlc_gift

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 315 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:FU
  • Sở thích:Math

Đã gửi 27-07-2009 - 21:58

Anh ơi coi lại đi, cứ tiếp tục biến đổi sẽ ngược dấu đấy

Em có 1 cách, mấy pác xem giúp
Do VT, VP là các đa thức thuần nhất nên ta chuẩn hóa $3b^2-a^2=2$
:D $3b^2=a^2+1+1 \geq 3 \sqrt[3]{a^2} $
:Rightarrow $b \geq \sqrt[3]{a} $
Do đó chỉ cần cm đc $(\dfrac{a+ \sqrt[3]{a} }{2})^3 \geq a^2$
:Rightarrow $(a+ \sqrt[3]{a} )^3 \geq 8a^2$
:Rightarrow $a^3+a+3a. \sqrt[3]{a} (a+ \sqrt[3]{a} ) \geq 8a^2$
Áp dụng AM-GM
$a^3+a \geq 2a^2$
$3a. \sqrt[3]{a} (a+ \sqrt[3]{a} ) \geq 3.a \sqrt[3]{a} .2 \sqrt[3]{a^2} =6a^2$
Cộng lại :Rightarrow ĐPCM

P/S: àh, nếu mấy bác xem rồi mà thấy hay thì Thanks em jùm cái ^^ !!!!

ừ,anh nhìn nhầm ^^!,không để ý :)

=.=


#8 lucbinh

lucbinh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 40 Bài viết

Đã gửi 09-08-2009 - 14:14

Bài toán đơn giản nên không cần dùng phương pháp mạnh. biến đổi:
$\begin{array}{l}
2{a^2}\sqrt {3{b^2} - {a^2}} = \left( {a\sqrt 3 + a} \right)\left( {a\sqrt 3 - a} \right)\sqrt {\left( {b\sqrt 3 + a} \right)\left( {b\sqrt 3 - a} \right)} \\
= \sqrt {\left( {a\sqrt 3 + a} \right)\left( {a\sqrt 3 + a} \right)\left( {b\sqrt 3 + a} \right)} \sqrt {\left( {a\sqrt 3 - a} \right)\left( {a\sqrt 3 - a} \right)\left( {b\sqrt 3 - a} \right)} \\
\le \sqrt {{{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 3 + b\sqrt 3 + 3a}}{3}} \right)}^3}} \sqrt {{{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 3 + b\sqrt 3 - 3a}}{3}} \right)}^3}} = \sqrt {{{\left[ {\dfrac{{{{\left( {2a\sqrt 3 + b\sqrt 3 } \right)}^2} - 9{a^2}}}{9}} \right]}^3}} \\
= \sqrt {{{\left[ {\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} + 2ab}}{3}} \right]}^3}} \le \sqrt {{{\left[ {\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}} \right]}^3}} = 2\sqrt 2 {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^3} \\
\end{array}$

Hoặc Côsi vế trái càng gọn hơn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lucbinh: 09-08-2009 - 14:15


#9 xiloxila

xiloxila

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hcmut

Đã gửi 20-03-2010 - 15:47

Chứng minh: ${\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^3} \ge {a^2}\sqrt {\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} {\rm{ }}\left ( {b\sqrt 3 > a > 0} \right)$

đặt $t=\dfrac{b}{a}$ sau đó khảo sát hàm số




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh