Bất đẳng thức nhỏ!
#1
Đã gửi 27-07-2009 - 16:04
#2
Đã gửi 27-07-2009 - 19:57
Chứng minh: ${\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^3} \ge {a^2}\sqrt {\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} {\rm{ }}\left ( {b\sqrt 3 > a > 0} \right)$
Với a=b=0.5, BĐT sai !
#3
Đã gửi 27-07-2009 - 20:12
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lucbinh: 27-07-2009 - 20:13
#4
Đã gửi 27-07-2009 - 21:01
Với a=b=0.5, BĐT sai !
sr, mình nhầm
#5
Đã gửi 27-07-2009 - 21:06
AM-GM thôi màChứng minh: ${\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^3} \ge {a^2}\sqrt {\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} {\rm{ }}\left ( {b\sqrt 3 > a > 0} \right)$
$\sqrt {{a^2}.{a^2}.\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} \le \sqrt {\dfrac{{{{\left( {{a^2} + {a^2} + \dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} \right)}^3}}}{{27}}} = ...$
=.=
#6
Đã gửi 27-07-2009 - 21:25
AM-GM thôi mà
$\sqrt {{a^2}.{a^2}.\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} \le \sqrt {\dfrac{{{{\left( {{a^2} + {a^2} + \dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} \right)}^3}}}{{27}}} = ...$
Anh ơi coi lại đi, cứ tiếp tục biến đổi sẽ ngược dấu đấy
Em có 1 cách, mấy pác xem giúp
Do VT, VP là các đa thức thuần nhất nên ta chuẩn hóa $3b^2-a^2=2$
$3b^2=a^2+1+1 \geq 3 \sqrt[3]{a^2} $
$b \geq \sqrt[3]{a} $
Do đó chỉ cần cm đc $(\dfrac{a+ \sqrt[3]{a} }{2})^3 \geq a^2$
$(a+ \sqrt[3]{a} )^3 \geq 8a^2$
$a^3+a+3a. \sqrt[3]{a} (a+ \sqrt[3]{a} ) \geq 8a^2$
Áp dụng AM-GM
$a^3+a \geq 2a^2$
$3a. \sqrt[3]{a} (a+ \sqrt[3]{a} ) \geq 3.a \sqrt[3]{a} .2 \sqrt[3]{a^2} =6a^2$
Cộng lại ĐPCM
P/S: àh, nếu mấy bác xem rồi mà thấy hay thì Thanks em jùm cái ^^ !!!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi drnohad: 27-07-2009 - 21:45
#7
Đã gửi 27-07-2009 - 21:58
ừ,anh nhìn nhầm ^^!,không để ýAnh ơi coi lại đi, cứ tiếp tục biến đổi sẽ ngược dấu đấy
Em có 1 cách, mấy pác xem giúp
Do VT, VP là các đa thức thuần nhất nên ta chuẩn hóa $3b^2-a^2=2$
$3b^2=a^2+1+1 \geq 3 \sqrt[3]{a^2} $
$b \geq \sqrt[3]{a} $
Do đó chỉ cần cm đc $(\dfrac{a+ \sqrt[3]{a} }{2})^3 \geq a^2$
$(a+ \sqrt[3]{a} )^3 \geq 8a^2$
$a^3+a+3a. \sqrt[3]{a} (a+ \sqrt[3]{a} ) \geq 8a^2$
Áp dụng AM-GM
$a^3+a \geq 2a^2$
$3a. \sqrt[3]{a} (a+ \sqrt[3]{a} ) \geq 3.a \sqrt[3]{a} .2 \sqrt[3]{a^2} =6a^2$
Cộng lại ĐPCM
P/S: àh, nếu mấy bác xem rồi mà thấy hay thì Thanks em jùm cái ^^ !!!!
=.=
#8
Đã gửi 09-08-2009 - 14:14
$\begin{array}{l}
2{a^2}\sqrt {3{b^2} - {a^2}} = \left( {a\sqrt 3 + a} \right)\left( {a\sqrt 3 - a} \right)\sqrt {\left( {b\sqrt 3 + a} \right)\left( {b\sqrt 3 - a} \right)} \\
= \sqrt {\left( {a\sqrt 3 + a} \right)\left( {a\sqrt 3 + a} \right)\left( {b\sqrt 3 + a} \right)} \sqrt {\left( {a\sqrt 3 - a} \right)\left( {a\sqrt 3 - a} \right)\left( {b\sqrt 3 - a} \right)} \\
\le \sqrt {{{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 3 + b\sqrt 3 + 3a}}{3}} \right)}^3}} \sqrt {{{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 3 + b\sqrt 3 - 3a}}{3}} \right)}^3}} = \sqrt {{{\left[ {\dfrac{{{{\left( {2a\sqrt 3 + b\sqrt 3 } \right)}^2} - 9{a^2}}}{9}} \right]}^3}} \\
= \sqrt {{{\left[ {\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} + 2ab}}{3}} \right]}^3}} \le \sqrt {{{\left[ {\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}} \right]}^3}} = 2\sqrt 2 {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^3} \\
\end{array}$
Hoặc Côsi vế trái càng gọn hơn!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lucbinh: 09-08-2009 - 14:15
#9
Đã gửi 20-03-2010 - 15:47
đặt $t=\dfrac{b}{a}$ sau đó khảo sát hàm sốChứng minh: ${\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^3} \ge {a^2}\sqrt {\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} {\rm{ }}\left ( {b\sqrt 3 > a > 0} \right)$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh