Đến nội dung

Hình ảnh

Bất đẳng thức nhỏ!


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
lucbinh

lucbinh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
Chứng minh: ${\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^3} \ge {a^2}\sqrt {\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} {\rm{ }}\left ( {b\sqrt 3 > a > 0} \right)$

#2
drnohad

drnohad

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Chứng minh: ${\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^3} \ge {a^2}\sqrt {\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} {\rm{ }}\left ( {b\sqrt 3 > a > 0} \right)$


Với a=b=0.5, BĐT sai !

#3
lucbinh

lucbinh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
Đẳng thức xảy ra khi a = b đó!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lucbinh: 27-07-2009 - 20:13


#4
drnohad

drnohad

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

Với a=b=0.5, BĐT sai !


sr, mình nhầm

#5
Toanlc_gift

Toanlc_gift

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 315 Bài viết

Chứng minh: ${\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^3} \ge {a^2}\sqrt {\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} {\rm{ }}\left ( {b\sqrt 3 > a > 0} \right)$

AM-GM thôi mà
$\sqrt {{a^2}.{a^2}.\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} \le \sqrt {\dfrac{{{{\left( {{a^2} + {a^2} + \dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} \right)}^3}}}{{27}}} = ...$

=.=


#6
drnohad

drnohad

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết

AM-GM thôi mà
$\sqrt {{a^2}.{a^2}.\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} \le \sqrt {\dfrac{{{{\left( {{a^2} + {a^2} + \dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} \right)}^3}}}{{27}}} = ...$


Anh ơi coi lại đi, cứ tiếp tục biến đổi sẽ ngược dấu đấy

Em có 1 cách, mấy pác xem giúp
Do VT, VP là các đa thức thuần nhất nên ta chuẩn hóa $3b^2-a^2=2$
:Rightarrow $3b^2=a^2+1+1 \geq 3 \sqrt[3]{a^2} $
:D $b \geq \sqrt[3]{a} $
Do đó chỉ cần cm đc $(\dfrac{a+ \sqrt[3]{a} }{2})^3 \geq a^2$
:) $(a+ \sqrt[3]{a} )^3 \geq 8a^2$
:Rightarrow $a^3+a+3a. \sqrt[3]{a} (a+ \sqrt[3]{a} ) \geq 8a^2$
Áp dụng AM-GM
$a^3+a \geq 2a^2$
$3a. \sqrt[3]{a} (a+ \sqrt[3]{a} ) \geq 3.a \sqrt[3]{a} .2 \sqrt[3]{a^2} =6a^2$
Cộng lại :Rightarrow ĐPCM

P/S: àh, nếu mấy bác xem rồi mà thấy hay thì Thanks em jùm cái ^^ !!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi drnohad: 27-07-2009 - 21:45


#7
Toanlc_gift

Toanlc_gift

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 315 Bài viết

Anh ơi coi lại đi, cứ tiếp tục biến đổi sẽ ngược dấu đấy

Em có 1 cách, mấy pác xem giúp
Do VT, VP là các đa thức thuần nhất nên ta chuẩn hóa $3b^2-a^2=2$
:D $3b^2=a^2+1+1 \geq 3 \sqrt[3]{a^2} $
:Rightarrow $b \geq \sqrt[3]{a} $
Do đó chỉ cần cm đc $(\dfrac{a+ \sqrt[3]{a} }{2})^3 \geq a^2$
:Rightarrow $(a+ \sqrt[3]{a} )^3 \geq 8a^2$
:Rightarrow $a^3+a+3a. \sqrt[3]{a} (a+ \sqrt[3]{a} ) \geq 8a^2$
Áp dụng AM-GM
$a^3+a \geq 2a^2$
$3a. \sqrt[3]{a} (a+ \sqrt[3]{a} ) \geq 3.a \sqrt[3]{a} .2 \sqrt[3]{a^2} =6a^2$
Cộng lại :Rightarrow ĐPCM

P/S: àh, nếu mấy bác xem rồi mà thấy hay thì Thanks em jùm cái ^^ !!!!

ừ,anh nhìn nhầm ^^!,không để ý :)

=.=


#8
lucbinh

lucbinh

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 39 Bài viết
Bài toán đơn giản nên không cần dùng phương pháp mạnh. biến đổi:
$\begin{array}{l}
2{a^2}\sqrt {3{b^2} - {a^2}} = \left( {a\sqrt 3 + a} \right)\left( {a\sqrt 3 - a} \right)\sqrt {\left( {b\sqrt 3 + a} \right)\left( {b\sqrt 3 - a} \right)} \\
= \sqrt {\left( {a\sqrt 3 + a} \right)\left( {a\sqrt 3 + a} \right)\left( {b\sqrt 3 + a} \right)} \sqrt {\left( {a\sqrt 3 - a} \right)\left( {a\sqrt 3 - a} \right)\left( {b\sqrt 3 - a} \right)} \\
\le \sqrt {{{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 3 + b\sqrt 3 + 3a}}{3}} \right)}^3}} \sqrt {{{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 3 + b\sqrt 3 - 3a}}{3}} \right)}^3}} = \sqrt {{{\left[ {\dfrac{{{{\left( {2a\sqrt 3 + b\sqrt 3 } \right)}^2} - 9{a^2}}}{9}} \right]}^3}} \\
= \sqrt {{{\left[ {\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} + 2ab}}{3}} \right]}^3}} \le \sqrt {{{\left[ {\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{2}} \right]}^3}} = 2\sqrt 2 {\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^3} \\
\end{array}$

Hoặc Côsi vế trái càng gọn hơn!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lucbinh: 09-08-2009 - 14:15


#9
xiloxila

xiloxila

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 37 Bài viết

Chứng minh: ${\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^3} \ge {a^2}\sqrt {\dfrac{{3{b^2} - {a^2}}}{2}} {\rm{ }}\left ( {b\sqrt 3 > a > 0} \right)$

đặt $t=\dfrac{b}{a}$ sau đó khảo sát hàm số




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh