Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$1^2 + 2^2 + ...... + (n-1)^2 + n^2 = ?$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1 tv_thinh

tv_thinh

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 28-07-2009 - 07:18

$1^2 + 2^2 + ...... + (n-1)^2 + n^2 = ?$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 11-04-2017 - 22:49


#2 dvtrung

dvtrung

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 28-07-2009 - 09:30

${1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}$
Bạn có thể cm bằng quy nạp.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 11-04-2017 - 22:49


#3 tv_thinh

tv_thinh

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 28-07-2009 - 15:23

Đáp số đó thì đúng rồi, nhưng ý mình muốn hỏi là tại sao bạn nghĩ ra đáp số đó.
Bạn sẽ làm gì để cho ra đáp số đó. Vì khi gặp một bài toán bạn không thể cho ra ngay đáp số, mà cần có quá trình suy nghĩ giải.

#4 L_Euler

L_Euler

    Leonhard Euler

  • Hiệp sỹ
  • 938 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:France

Đã gửi 28-07-2009 - 15:39

1^2 + 2^2 + ...... + (n-1)^2 + n^2 = ???


Đáp số đó thì đúng rồi, nhưng ý mình muốn hỏi là tại sao bạn nghĩ ra đáp số đó.
Bạn sẽ làm gì để cho ra đáp số đó. Vì khi gặp một bài toán bạn không thể cho ra ngay đáp số, mà cần có quá trình suy nghĩ giải.


Bạn đưa về dạng công thức suy hồi $\left\{ \begin{matrix}S_1 = 1 \\S_n = S_{n - 1} + n^2 \\\end{matrix} \right.\forall n \in Z,n \ge 2$ rồi sử dụng sai phân. Nó dư 1 thành phần tam thức khuyết (bậc 2) là $n^2$ nên nghiệm của nó có dạng $S_n=an^3+bn^2+cn$. Thay vào các giá trị đầu là $S_1=1,S_2=5,S_3=14 $ sẽ ra $a,b,c$ :)

#5 chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Darmstadt - Germany
  • Sở thích:Guitar, Bóng đá

Đã gửi 28-07-2009 - 18:18

Nhắc đến bài này lại nhớ phương pháp đếm theo 2 cách. Áp dụng phương pháp này trong bài này như sau:

Bài toán: Đếm số bộ có thứ tự $(x,y,z)$ được chọn ra từ $\{1,2,...,n+1\}$ thõa mãn:
$z>max\{x,y\}$

Cách đếm thứ nhất: Nếu $z=k+1$, với $1\leq k \leq n$ thì có $k$ cách chọn $x$ và $k$ cách chọn $y$. Suy ra số cách chọn là
$1^2+2^2+...+n^2$.

Cách đếm thứ hai:
Số các bộ thỏa mãn $x=y<z$ là $C_{n+1}^2$
Số các bộ thỏa mãn $x<y<z$ là $C_{n+1}^3$
Số các bộ thỏa mãn $y<x<z$ là $C_{n+1}^3$
Tổng số bộ thỏa mãn là $C_{n+1}^2+2C_{n+1}^3=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Từ đó suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyentoan: 28-07-2009 - 18:19

The only way to learn mathematics is to do mathematics

#6 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 28-07-2009 - 21:29

Một cách phù hợp với các em THCS đó là tách ra như sau
$1^2+2^2+3^2+...+n^2$
$=1.(2-1)+2.(3-1)+3.(4-1)+...+n((n+1)-1)$
$=(1.2+2.3+3.4+...+n(n+1))-(1+2+3+...+n)$
$=\dfrac{n(n+1)(n+2)-0.1.2}{3}-\dfrac{n(n+1)}{2}$
$=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Quy ẩn giang hồ

#7 congcomMật khẩu:

congcomMật khẩu:

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 84 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11a1 toan dhkhtn dhqgh

Đã gửi 14-08-2009 - 19:18

Ta còn có 1 cách làm nữa rất đơn giản là :
$1^3=1^3.$
$2^3=(1+1)^3=1^3+3.1^2+3.1+1.$
$3^3=(2+1)^3=2^3+3.2^2+3.2+1.$
......
$(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1.$
Cộng vế với vế của các dẳng thức trên ta có
$3(1^2+2^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+1+n=(n+1)^3,$ từ đó ta có công thức cần cm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 11-04-2017 - 22:51

cuộc đời ko bao giờ giữ lòng tự trọng cho bạn mà ban phải tự tạo ra nó

#8 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 04-10-2012 - 11:30

Giải thưởng iphone 5 cho ai tính được: 1k +2k +3k +...+nk =?. kết quả ra là 1 hàm đa thức theo n. gửi về địa chỉ [email protected], ĐT:0937768241 đê nhận thưởng. vể diễn đàn chính /thông tin toán học , xem chương trình giải toán có thưởng

Giải thưởng thì không dám nhưng bài toán này có thể giải như sau:
Theo cách tính tổng thầy Thanh ta được:
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{k}=\zeta(-k)-\zeta(-k,n+1)$
Với: $\zeta(-k)=\zeta \left( -k \right) =\sum _{i=1}^{\infty } \left( {i}^{-k}
\right) ^{-1}$
Và $\zeta(-k,n+1)=\dfrac{d^{-k}}{d(n+1)^{-k}} \zeta(n+1)=\dfrac{d^{-k}}{d(n+1)^{-k}} \sum _{i=1}^{\infty } \left( {i}^{n+1}
\right) ^{-1}$
__________
Chứng minh thì dùng quy nạp thôi

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#9 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 04-10-2012 - 11:34

Theo cách tính tổng thầy Thanh ta được:
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{k}=\zeta(-k)-\zeta(-k,n+1)$
Với: $\zeta(-k)=\zeta \left( -k \right) =\sum _{i=1}^{\infty } \left( {i}^{-k}
\right) ^{-1}$
Và $\zeta(-k,n+1)=\dfrac{d^{-k}}{d(n+1)^{-k}} \zeta(n+1)=\dfrac{d^{-k}}{d(n+1)^{-k}} \sum _{i=1}^{\infty } \left( {i}^{n+1}
\right) ^{-1}$

Áp dụng ta được:
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{3}=\dfrac{1}{4}\,{n}^{2} \left( n+1 \right) ^{2}$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{4}=\dfrac{1}{30}\,n \left( n+1 \right) \left( 2\,n+1 \right) \left( 3\,{n}^{2}+3
\,n-1 \right) $
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{5}=1/12\,{n}^{2} \left( 2\,{n}^{2}+2\,n-1 \right) \left( n+1 \right) ^{2
}
$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{6}=1/42\,n \left( n+1 \right) \left( 2\,n+1 \right) \left( 3\,{n}^{4}+6
\,{n}^{3}-3\,n+1 \right)

$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{7}=1/24\,{n}^{2} \left( 3\,{n}^{4}+6\,{n}^{3}-{n}^{2}-4\,n+2 \right)
\left( n+1 \right) ^{2}
$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{8}={\frac {1}{90}}\,n \left( n+1 \right) \left( 2\,n+1 \right) \left( 5
\,{n}^{6}+15\,{n}^{5}+5\,{n}^{4}-15\,{n}^{3}-{n}^{2}+9\,n-3 \right)
$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{9}=1/20\,{n}^{2} \left( {n}^{2}+n-1 \right) \left( 2\,{n}^{4}+4\,{n}^{3}
-{n}^{2}-3\,n+3 \right) \left( n+1 \right) ^{2}
$
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{10}={\frac {1}{66}}\,n \left( n+1 \right) \left( 2\,n+1 \right) \left( {
n}^{2}+n-1 \right) \left( 3\,{n}^{6}+9\,{n}^{5}+2\,{n}^{4}-11\,{n}^{3
}+3\,{n}^{2}+10\,n-5 \right)
$

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#10 nthoangcute

nthoangcute

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2003 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vted.vn

Đã gửi 04-10-2012 - 11:49

hic. bạn không hiểu ý của mình, mình muốn bạn tính ra theo đa thức n. không phải mất công nhân tích thành tổng

Thì mình đã tích rồi mà !!!
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{k}=\sum _{i=1}^{\infty } \left( {i}^{-k}
\right) ^{-1}-\dfrac{d^{-k}}{d(n+1)^{-k}} \sum _{i=1}^{\infty } \left( {i}^{n+1}
\right) ^{-1}$
_______________________
Đây là đa thức theo $n$ mà !!! ($k$ là số cho trước)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 04-10-2012 - 11:52

BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO

 

Facebook : facebook.com/viet.alexander.7


Youtube : youtube.com/nthoangcute


Gmail : [email protected]


SÐT : 0965734893


#11 toansocaplqd

toansocaplqd

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 09-07-2013 - 22:32

Bạn có thể nói rõ phương pháp tính được không ?. Mình chưa hiểu cách tổng quát.



#12 leminhnghiatt

leminhnghiatt

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1078 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\color{blue}{\text{THPT Thanh Thủy}}$
  • Sở thích:$\color{Blue}{\text{Bầu trời xanh của tôi}}$

Đã gửi 08-09-2016 - 14:56

Giải thưởng thì không dám nhưng bài toán này có thể giải như sau:
Theo cách tính tổng thầy Thanh ta được:
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{k}=\zeta(-k)-\zeta(-k,n+1)$
Với: $\zeta(-k)=\zeta \left( -k \right) =\sum _{i=1}^{\infty } \left( {i}^{-k}
\right) ^{-1}$
Và $\zeta(-k,n+1)=\dfrac{d^{-k}}{d(n+1)^{-k}} \zeta(n+1)=\dfrac{d^{-k}}{d(n+1)^{-k}} \sum _{i=1}^{\infty } \left( {i}^{n+1}
\right) ^{-1}$
__________
Chứng minh thì dùng quy nạp thôi

Bài này trước đó đã có ai giải chưa ak, cho mình xin link đầy đủ đc không


Don't care


#13 tcm

tcm

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 250 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Nguyễn Du, TP. Pleiku, Gia Lai.
  • Sở thích:Math & Girls.

Đã gửi 06-04-2017 - 17:24

Một cách phù hợp với các em THCS đó là tách ra như sau
$1^2+2^2+3^2+...+n^2$
$=1.(2-1)+2.(3-1)+3.(4-1)+...+n((n+1)-1)$
$=(1.2+2.3+3.4+...+n(n+1))-(1+2+3+...+n)$
$=\dfrac{n(n+1)(n+2)-0.1.2}{3}-\dfrac{n(n+1)}{2}$
$=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

 

Anh có thể phân tích rõ 2 bước cuối giùm em đc ko ạ? Em chưa hiểu lắm ^.^


Laugh as long as we breathe, love as long as we live!


#14 caubehoanggia

caubehoanggia

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hải phòng
  • Sở thích:đá cầu, học toán, tự kỉ

Đã gửi 07-04-2017 - 12:42

Anh có thể phân tích rõ 2 bước cuối giùm em đc ko ạ? Em chưa hiểu lắm ^.^

để mình trả lời thay

3.1.2=1.2.3-0.1.2

3.2.3=2.3.4-1.2.3

.......

3n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)

cộng cả 2 vế ta được 1.2+2.3+...+n(n+1)=$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ 

còn 1+2+3+...+n thì dễ rồi tổng của dãy số tự nhiên liên tiếp :icon6:  :icon6:  :icon6:


  • tcm yêu thích

#15 tcm

tcm

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 250 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THCS Nguyễn Du, TP. Pleiku, Gia Lai.
  • Sở thích:Math & Girls.

Đã gửi 07-04-2017 - 14:48

để mình trả lời thay

3.1.2=1.2.3-0.1.2

3.2.3=2.3.4-1.2.3

.......

3n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)

cộng cả 2 vế ta được 1.2+2.3+...+n(n+1)=$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ 

còn 1+2+3+...+n thì dễ rồi tổng của dãy số tự nhiên liên tiếp :icon6:  :icon6:  :icon6:

 

Vâỵ nếu biến đổi bài này một chút: $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3}$ thì giải như thế nào anh nhỉ? (Em thử làm theo cách trên nhưng thấy nó hơi rối)


Laugh as long as we breathe, love as long as we live!


#16 caubehoanggia

caubehoanggia

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hải phòng
  • Sở thích:đá cầu, học toán, tự kỉ

Đã gửi 07-04-2017 - 21:38

Vâỵ nếu biến đổi bài này một chút: $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3}$ thì giải như thế nào anh nhỉ? (Em thử làm theo cách trên nhưng thấy nó hơi rối)

Thì bạn cứ lấy n3-n vd nhé

$1^{3}-1=0.1.2$

$2^{3}-2=1.2.3$

.....

$n^{3}-n=(n-1)n(n+1)$

Rồi sau đó bạn làm thế này 

4.1.2.3=1.2.3.4-0.1.2.3

4.2.3.4=2.3.4.5-1.2.3.4

......

4(n-1)n(n+1)=(n-1)n(n+1)(n+2)-(n-2)(n-1)n(n+1)

rồi làm tương tự như trên là được :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:  :icon6:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caubehoanggia: 07-04-2017 - 21:57

  • tcm yêu thích




3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh