$1^2 + 2^2 + ...... + (n-1)^2 + n^2 = ?$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 11-04-2017 - 22:49
$1^2 + 2^2 + ...... + (n-1)^2 + n^2 = ?$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 11-04-2017 - 22:49
${1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}$
Bạn có thể cm bằng quy nạp.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 11-04-2017 - 22:49
1^2 + 2^2 + ...... + (n-1)^2 + n^2 = ???
Đáp số đó thì đúng rồi, nhưng ý mình muốn hỏi là tại sao bạn nghĩ ra đáp số đó.
Bạn sẽ làm gì để cho ra đáp số đó. Vì khi gặp một bài toán bạn không thể cho ra ngay đáp số, mà cần có quá trình suy nghĩ giải.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chuyentoan: 28-07-2009 - 18:19
Ta còn có 1 cách làm nữa rất đơn giản là :
$1^3=1^3.$
$2^3=(1+1)^3=1^3+3.1^2+3.1+1.$
$3^3=(2+1)^3=2^3+3.2^2+3.2+1.$
......
$(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1.$
Cộng vế với vế của các dẳng thức trên ta có
$3(1^2+2^2+...+n^2)+3(1+2+3+...+n)+1+n=(n+1)^3,$ từ đó ta có công thức cần cm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 11-04-2017 - 22:51
Giải thưởng thì không dám nhưng bài toán này có thể giải như sau:Giải thưởng iphone 5 cho ai tính được: 1k +2k +3k +...+nk =?. kết quả ra là 1 hàm đa thức theo n. gửi về địa chỉ [email protected], ĐT:0937768241 đê nhận thưởng. vể diễn đàn chính /thông tin toán học , xem chương trình giải toán có thưởng
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
Áp dụng ta được:Theo cách tính tổng thầy Thanh ta được:
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{k}=\zeta(-k)-\zeta(-k,n+1)$
Với: $\zeta(-k)=\zeta \left( -k \right) =\sum _{i=1}^{\infty } \left( {i}^{-k}
\right) ^{-1}$
Và $\zeta(-k,n+1)=\dfrac{d^{-k}}{d(n+1)^{-k}} \zeta(n+1)=\dfrac{d^{-k}}{d(n+1)^{-k}} \sum _{i=1}^{\infty } \left( {i}^{n+1}
\right) ^{-1}$
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
Thì mình đã tích rồi mà !!!hic. bạn không hiểu ý của mình, mình muốn bạn tính ra theo đa thức n. không phải mất công nhân tích thành tổng
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 04-10-2012 - 11:52
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
Bạn có thể nói rõ phương pháp tính được không ?. Mình chưa hiểu cách tổng quát.
Giải thưởng thì không dám nhưng bài toán này có thể giải như sau:
Theo cách tính tổng thầy Thanh ta được:
$\sum _{i=1}^{n}{i}^{k}=\zeta(-k)-\zeta(-k,n+1)$
Với: $\zeta(-k)=\zeta \left( -k \right) =\sum _{i=1}^{\infty } \left( {i}^{-k}
\right) ^{-1}$
Và $\zeta(-k,n+1)=\dfrac{d^{-k}}{d(n+1)^{-k}} \zeta(n+1)=\dfrac{d^{-k}}{d(n+1)^{-k}} \sum _{i=1}^{\infty } \left( {i}^{n+1}
\right) ^{-1}$
__________
Chứng minh thì dùng quy nạp thôi
Bài này trước đó đã có ai giải chưa ak, cho mình xin link đầy đủ đc không
Don't care
Một cách phù hợp với các em THCS đó là tách ra như sau
$1^2+2^2+3^2+...+n^2$
$=1.(2-1)+2.(3-1)+3.(4-1)+...+n((n+1)-1)$
$=(1.2+2.3+3.4+...+n(n+1))-(1+2+3+...+n)$
$=\dfrac{n(n+1)(n+2)-0.1.2}{3}-\dfrac{n(n+1)}{2}$
$=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
Anh có thể phân tích rõ 2 bước cuối giùm em đc ko ạ? Em chưa hiểu lắm ^.^
Laugh as long as we breathe, love as long as we live!
Anh có thể phân tích rõ 2 bước cuối giùm em đc ko ạ? Em chưa hiểu lắm ^.^
để mình trả lời thay
3.1.2=1.2.3-0.1.2
3.2.3=2.3.4-1.2.3
.......
3n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
cộng cả 2 vế ta được 1.2+2.3+...+n(n+1)=$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
còn 1+2+3+...+n thì dễ rồi tổng của dãy số tự nhiên liên tiếp
để mình trả lời thay
3.1.2=1.2.3-0.1.2
3.2.3=2.3.4-1.2.3
.......
3n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)
cộng cả 2 vế ta được 1.2+2.3+...+n(n+1)=$\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
còn 1+2+3+...+n thì dễ rồi tổng của dãy số tự nhiên liên tiếp
Vâỵ nếu biến đổi bài này một chút: $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3}$ thì giải như thế nào anh nhỉ? (Em thử làm theo cách trên nhưng thấy nó hơi rối)
Laugh as long as we breathe, love as long as we live!
Vâỵ nếu biến đổi bài này một chút: $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3}$ thì giải như thế nào anh nhỉ? (Em thử làm theo cách trên nhưng thấy nó hơi rối)
Thì bạn cứ lấy n3-n vd nhé
$1^{3}-1=0.1.2$
$2^{3}-2=1.2.3$
.....
$n^{3}-n=(n-1)n(n+1)$
Rồi sau đó bạn làm thế này
4.1.2.3=1.2.3.4-0.1.2.3
4.2.3.4=2.3.4.5-1.2.3.4
......
4(n-1)n(n+1)=(n-1)n(n+1)(n+2)-(n-2)(n-1)n(n+1)
rồi làm tương tự như trên là được
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caubehoanggia: 07-04-2017 - 21:57
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh