Chủ đề này có 4 trả lời

[mai quoc thang]

Đề bài :

Với mọi $ x,y \ge 0 $ .

Chứng minh rằng :


$ \Gamma \left( {x + y + 1} \right) \ge \left( {1 + xy} \right)\Gamma \left( {1 + x} \right)\Gamma \left( {1 + y} \right) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mai quoc thang: 13-01-2010 - 09:41

[An Infinitesimal]

Đề bài :

Với mọi $ x,y \ge 0 $ .

Chứng minh rằng :
$ \Gamma \left( {x + y + 1} \right) \ge \left( {1 + xy} \right)\Gamma \left( {1 + x} \right)\Gamma \left( {1 + y} \right) $

@ : các đàn anh giải kỹ ra với ạ ....... đàn em vừa mới học xong năm I thôi nên hiểu biết còn non kém lắm ạ

Mùa rìu:
TH:$x,y>0$
Do $\Gamma \left( {x+ 1} \right)=\dfrac{\Gamma \left( {x +2} \right)}{x+1}$
Khi đo: CM: $B(x+1,y+1)= \dfrac{\Gamma \left( {x +1} \right)\Gamma \left( {y+1} \right)}{\Gamma \left( {x +y+2} \right)} \le \dfrac{1}{(x+y+1)(xy+1)} $
Do http://en.wikipedia....i/Beta_function
$B(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1} dt$
Vì $\int_{0}^{1}t^{x}(1-t)^{y} dt\le \dfrac{1}{2^{x+y}} $
.Do đo, cm:

$2^{x+y}\ge (x+y+1)(1+xy)$
tiếp tục suy nghĩ ....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 13-01-2010 - 22:15

[mai quoc thang]

Bài này em thấy bên mathvn.org ko ai giải cũng lâu rồi nên lượm về dùng thôi

.Do đo, cm:

$2^{x+y}\ge (x+y+1)(1+xy)$
tiếp tục suy nghĩ ....

Bất đẳng thức này không đúng anh ạ

Thí dụ với : $ x=y=1 $ chẳng hạn

Nãy chừ em ngồi chứng minh thử thì đưa về việc chứng minh một bất đẳng thức " có vẻ đúng " sau

Với $ 0 \leq t \leq 1 ; \ \ x,y > 0 $ ; chứng minh : $ t^{x-1}.(1-t)^{y-1} \leq \dfrac{x+y}{xy(1+xy)} $

Thử với vài ba cái $ x;y $ cụ thể thì thấy nó đúng ; có điều với số bất kỳ biểu thức nó lằng ngoằn quá nên ngại tính ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mai quoc thang: 27-01-2010 - 09:09

[An Infinitesimal]

Bài này em thấy bên mathvn.org ko ai giải cũng lâu rồi nên lượm về dùng thôi


Với $ 0 \leq t \leq 1 ; \ \ x,y > 0 $ ; chứng minh : $ t^{x-1}.(1-t)^{y-1} \leq \dfrac{x+y}{xy(1+xy)} $

Nhìn thấy là muốn sợ, không biết cm thế nào , nên đành lái sang BDT kia ?
Không cách náo cm đc , nên bí luôn.
Khi chuyển sang dạng mới thấy đẹp và gọn : nhưng có thể gây trở ngại


Chắc , người ta có thêm công cụ giải tích nào đó , mà mình chưa biết .

Vậy để từ từ tính tiềp .

[An Infinitesimal]

Lúc đầu anh cũng nhìn theo B(x,y), thì có reuslt tương tự:
$B(x,y)=\int_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt\le \dfrac{x+y}{xy(1+xy)$}

Bài này em thấy bên mathvn.org ko ai giải cũng lâu rồi nên lượm về dùng thôi


Nãy chừ em ngồi chứng minh thử thì đưa về việc chứng minh một bất đẳng thức " có vẻ đúng " sau

Với $ 0 \leq t \leq 1 ; \ \ x,y > 0 $ ; chứng minh : $ t^{x-1}.(1-t)^{y-1} \leq \dfrac{x+y}{xy(1+xy)} $

CM điều này tương đương :$ max_{t\in [0,1]}t^{x-1}.(1-t)^{y-1} \leq \dfrac{x+y}{xy(1+xy)} $
$ \dfrac{1}{2^{x+y-2}} \leq \dfrac{x+y}{xy(1+xy)} $
$(x+y)2^{x+y}\ge 4xy(xy+1)$
Các phép biến đổi + lý luận có gì sai ko?
Nhưng reusult là sai :$x=y=2$
Nên BDT tich phân trên cũng "mạnh lắm"

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 27-01-2010 - 16:28