Chủ đề này có 5 trả lời

[fastmather]

$\dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}+\dfrac{1}{1+c^{3}}\geq \dfrac{3}{1+abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fastmather: 06-08-2009 - 11:54

[vanthien_tanphu]

$\dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}+\dfrac{1}{1+c^{3}}\geq \dfrac{3}{1+abc}$

Bài toán này thiếu điều kiện, vi dụ khi a = 0, b = c = 1 thì bất đẳng thức không đúng.
Đúng ra là cho a, b, c là ba số lớn hơn hay bằng 1, Chứng minh $\dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}+\dfrac{1}{1+c^{3}}\geq \dfrac{3}{1+abc}$
Trước hết ta chứng minh bài toán " Cho $ x, y \geq 1$ Chứng minh $ \dfrac{1}{1+x} +\dfrac{1}{1+x}\geq\dfrac{2}{1+ \sqrt{xy} }$
Thật vậy bất đảng thức này tương đương $ (\sqrt{xy}-1)( \sqrt{x} - \sqrt{y})^{2}\geq 0$
Do đó $ \dfrac{1}{1+a^{3}} +\dfrac{1}{1+b^{3}} +\dfrac{1}{1+c^{3}} +\dfrac{1}{1+abc}\geq\dfrac{2}{1+\sqrt{(ab)^{3}}}+\dfrac{2}{1+ \sqrt{c^{3}abc}}\geq\dfrac{4}{1+ \sqrt{\sqrt{(abc)^{4}}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}+\dfrac{1}{1+c^{3}}\geq \dfrac{3}{1+abc}$

[vuthanhtu_hd]

$\dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}+\dfrac{1}{1+c^{3}}\geq \dfrac{3}{1+abc}$

Tổng quát


Với $x_i>0,i=1,2,..$ ta có

$\dfrac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{1}{1+x_i} \ge \dfrac{1}{1+(\prod\limits_{i=1}^{n} x_i)^{\dfrac{1}{n}}}$

[shinichiconan1601]

anh vũ thanh tú giỏi thiệt

[Trần Khả Nam]

Vanthien làm đúng rồi nhưng tắt quá cần khoảng 4 /5 dòng để chứng minh ý 1 của bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trần Khả Nam: 09-08-2009 - 21:59

[123455]

bài của tanphu đúng rùi Nam ạ! bạn cứ lấy VT-VP phân tích ra là được
một bài như thế viết latex khá vất vả có thể thông cảm cho tan phu được mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 123455: 10-08-2009 - 14:46