Cho a,b,c thỏa $a^2+b^2+c^2=2$
CMR $ \dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c}-a-b-c \geq \dfrac{ \sqrt{6} }{2} $
Mình thấy toán tuổi thơ cm bài này như sau
$( \sqrt{3}a - \sqrt{2})^2(5a+2\sqrt{6}) \geq 0$
Phân tích $\Rightarrow \dfrac{1}{a} -a \geq \dfrac{7 \sqrt{6} }{12} - \dfrac{ 5\sqrt{6}a^2 }{8} $
TT $\Rightarrow DPCM$
Tại sao người ta lại nghĩ ra hướng $( \sqrt{3}a - \sqrt{2})^2(5a+2\sqrt{6}) \geq 0 $
Các bạn giải đáp dùm mình đi
Đây là kĩ thuật em ạ (anh quen gọi là kĩ thuật tiếp tuyến)
Vì giả thiết có $a^2$ nên ta cần một đánh giá kiểu
$ \dfrac{1}{a}-a \ge ma^2+n$
Sau đó ta thấy điểm rơi là $a=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ nên thay $a=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ vào
và xét khi dấu bằng xảy ra ,ta tìm được mối quan hệ giữa $m$ và $n$.Sau đó thay ngược lại ta được 1 BDT với biến $a$ và 1 tham số là $m$ (hoặc $n$)
Và lúc này có thể biến đổi
tương đương với $(a-\sqrt{\dfrac{2}{3}}).f(a) \ge 0$ ($f(a)$ có tham số là $m$)
Tiếp theo ta sẽ tìm $m$ sao cho $f(a) $ có nghiệm $a=\sqrt{\dfrac{2}{3}}$
Công việc này khá đơn giản
Và cuối cùng (sau khi đã tìm được $m$ và thay vào ) BDT được đưa về dạng $(a-\sqrt{\dfrac{2}{3}})^2f(a) \ge 0$($f(a)$ lúc này không có tham số $m$)
Nếu có $f(a) \ge 0$ thì công việc thành công.
Kĩ thuật này em có thể tham khảo trong cuốn BDT Suy luận và khám phá của thầy Phạm Văn Thuận,Lê Vĩ
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 08-08-2009 - 12:33