Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

CM: $\dfrac{b(a+c)}{c(a+b} + \dfrac{c(b+d)}{d(b+c)} + \dfrac{d(c+a)}{a(c+d)} + \dfrac{a(d+b)}{b(d+a)} \geq 4$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Pirates

Pirates

    Mathematics...

  • Thành viên
  • 642 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai

Đã gửi 08-08-2009 - 17:38

1. Cho $a, b, c, d$ dương.
CM: $\dfrac{b(a+c)}{c(a+b} + \dfrac{c(b+d)}{d(b+c)} + \dfrac{d(c+a)}{a(c+d)} + \dfrac{a(d+b)}{b(d+a)} \geq 4$

2. Cho $a, b, c$ là các số thực khác 0 thỏa: $a^{2} + b^{2} + c^{2} = (a-b)^{2} + (b-c)^{2} + (c-a)^{2}$
CM: $\dfrac{1}{12} \leq \dfrac{a^{2}b + b^{2}c + c^{2}a}{(a+b+c)^{3}} \leq \dfrac{5}{36}$

2 bài này của anh Cẩn hay quá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 02-04-2012 - 01:21

"God made the integers, all else is the work of men"


#2 Tham Lang

Tham Lang

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1149 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Tự kỉ ^^

Đã gửi 02-04-2012 - 01:00

Bài 1.
$$VT = \left (a + c\right )\left (\dfrac{b}{c(a + b)} + \dfrac{d}{a(c + d)}\right ) + \left (b + d\right )\left (\dfrac{c}{d(b + c)} + \dfrac{a}{b(d + a)}\right ) $$ $$= \left (abc + acd + abd + bcd\right )\left [\dfrac{a + c}{ac(a + b)(c + d)} + \dfrac{b + d}{bd(b + c)(d + a)}\right ] = \left (\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d}\right ) \left [\dfrac{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c}}{\left (\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right )\left (\dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d}\right )} + \dfrac{\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{d}}{\left (\dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{a}\right )\left (\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right )}\right ]$$ $$\ge \left (\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d}\right )4.\dfrac{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{d}}{\left (\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} + \dfrac{1}{d}\right )^2} = 4$$
Bất đẳng thức đã được chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tham Lang: 24-07-2012 - 10:15

Off vĩnh viễn ! Không ngày trở lại.......


#3 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 12-11-2012 - 17:29

Từ điều kiện bài toán, suy ra $\left ( a+b+c \right )^{2}=4\left ( ab+bc+ca \right )$.
Đặt $x=\frac{a}{a+b+c};y=\frac{b}{a+b+c};z=\frac{c}{a+b+c}$.
Khi đó, ta có $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1 & \\ xy+yz+zx=\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+z=1-x& \\ yz=\frac{1}{4}-x\left ( y+z \right )=x^{2}-x+\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.
Suy ra $\left ( x-1 \right )^{2}\geq 4\left ( x^{2}-x+\frac{1}{4} \right )\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{2}{3}$.
Ta có
$P=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x=\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\left ( x+y+z \right )-x^{2}\left ( 1-x \right )+y^{2}\left ( 1-y \right )+z^{2}\left ( 1-z \right )$$=x^{3}+y^{3}+z^{3}=x^{3}+\left ( 1-x \right )\left ( \left ( 1-x \right )^{2}-3\left ( \frac{1}{4}-x\left (1-x \right ) \right ) \right )$$=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$.
Từ đây, khảo sát hàm $f\left ( x \right )=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$ với $x\in \left [ 0;\frac{2}{3} \right ]$ ta được đpcm.

#4 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 375 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT A Hải Hậu

Đã gửi 13-08-2013 - 17:54

Bài 2 làm sai mà cũng like để ý kĩ P phân tích sai$P=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})-x^{2}(1-y)-y^{2}(1-z)-z^{2}(1-x)$ mới đúng



#5 lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-11-2013 - 12:35

Từ điều kiện bài toán, suy ra $\left ( a+b+c \right )^{2}=4\left ( ab+bc+ca \right )$.
Đặt $x=\frac{a}{a+b+c};y=\frac{b}{a+b+c};z=\frac{c}{a+b+c}$.
Khi đó, ta có $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1 & \\ xy+yz+zx=\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+z=1-x& \\ yz=\frac{1}{4}-x\left ( y+z \right )=x^{2}-x+\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.
Suy ra $\left ( x-1 \right )^{2}\geq 4\left ( x^{2}-x+\frac{1}{4} \right )\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{2}{3}$.
Ta có
$P=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x=\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\left ( x+y+z \right )-x^{2}\left ( 1-x \right )-y^{2}\left ( 1-y \right )-z^{2}\left ( 1-z \right )$$=x^{3}+y^{3}+z^{3}=x^{3}+\left ( 1-x \right )\left ( \left ( 1-x \right )^{2}-3\left ( \frac{1}{4}-x\left (1-x \right ) \right ) \right )$$=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$.
Từ đây, khảo sát hàm $f\left ( x \right )=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$ với $x\in \left [ 0;\frac{2}{3} \right ]$ ta được đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoanghiep: 09-11-2013 - 12:35


#6 thaycung1298

thaycung1298

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 35 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Phú Yên
  • Sở thích:Suy tư về thiên nhiên và logic

Đã gửi 03-04-2014 - 17:54

Từ điều kiện bài toán, suy ra $\left ( a+b+c \right )^{2}=4\left ( ab+bc+ca \right )$.
Đặt $x=\frac{a}{a+b+c};y=\frac{b}{a+b+c};z=\frac{c}{a+b+c}$.
Khi đó, ta có $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1 & \\ xy+yz+zx=\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+z=1-x& \\ yz=\frac{1}{4}-x\left ( y+z \right )=x^{2}-x+\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.
Suy ra $\left ( x-1 \right )^{2}\geq 4\left ( x^{2}-x+\frac{1}{4} \right )\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{2}{3}$. (*)
Ta có
$P=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x=\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\left ( x+y+z \right )-x^{2}\left ( 1-x \right )+y^{2}\left ( 1-y \right )+z^{2}\left ( 1-z \right )$$  (**) =x^{3}+y^{3}+z^{3}=x^{3}+\left ( 1-x \right )\left ( \left ( 1-x \right )^{2}-3\left ( \frac{1}{4}-x\left (1-x \right ) \right ) \right )$$=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$.
Từ đây, khảo sát hàm $f\left ( x \right )=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$ với $x\in \left [ 0;\frac{2}{3} \right ]$ ta được đpcm

Cho mình hỏi (*) có thể áp dụng bất đẳng thức  $(y+z)^2 \geqslant 2yz \Leftrightarrow (x-1)^2 \geqslant 2(x^2 -x + \frac{1}{4})$ được không?

và tại sao P có thể phân tích thành (**)

Mình cảm ơn


Ta không thể thay đổi môi trường sống, nhưng ta có thể thay đổi cách nghĩ khi sống trong môi trường ấy


#7 Trung007

Trung007

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Đã gửi 06-05-2016 - 00:20

 

Từ điều kiện bài toán, suy ra $\left ( a+b+c \right )^{2}=4\left ( ab+bc+ca \right )$.
Đặt $x=\frac{a}{a+b+c};y=\frac{b}{a+b+c};z=\frac{c}{a+b+c}$.
Khi đó, ta có $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1 & \\ xy+yz+zx=\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} y+z=1-x& \\ yz=\frac{1}{4}-x\left ( y+z \right )=x^{2}-x+\frac{1}{4}& \end{matrix}\right.$.
Suy ra $\left ( x-1 \right )^{2}\geq 4\left ( x^{2}-x+\frac{1}{4} \right )\Leftrightarrow 0\leq x\leq \frac{2}{3}$.
Ta có
$P=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x=\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\left ( x+y+z \right )-x^{2}\left ( 1-x \right )-y^{2}\left ( 1-y \right )-z^{2}\left ( 1-z \right )$$=x^{3}+y^{3}+z^{3}=x^{3}+\left ( 1-x \right )\left ( \left ( 1-x \right )^{2}-3\left ( \frac{1}{4}-x\left (1-x \right ) \right ) \right )$$=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$.
Từ đây, khảo sát hàm $f\left ( x \right )=3x^{3}-3x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}$ với $x\in \left [ 0;\frac{2}{3} \right ]$ ta được đpcm.

 

Bạn ơi, cho mình hỏi làm sao mình phân tích được P ra thành như vậy được ?






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh