Đến nội dung

Hình ảnh

Một tính chất của đường đối trung

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Mashimaru

Mashimaru

    Thượng sĩ

  • Hiệp sỹ
  • 264 Bài viết
Cho $\triangle ABC$ có $AA_1$ là đường đối trung với $A_1\in BC$. Gọi $B_a,C_a$ là các điểm trên các cạnh $AC,AB$ sao cho $A_1B_aAC_a$ là hình bình hành. Khi đó, ta dễ thấy $B,C,B_a,C_a$ đồng viên. Gọi $O_a$ là tâm của đường tròn đi qua $B,C,B_a,C_a$. Định nghĩa tương tự các điểm $O_b,O_c$. Chứng minh rằng $AO_a,BO_b,CO_c$ đồng qui tại một điểm $I$, hơn nữa $I$ cách đều hai điểm Brocard của $\triangle ABC$.
Và như thế, hạnh phúc thật giản dị, nhưng đó là điều giản dị mà chỉ những người thực sự giàu có trong tâm hồn mới sở hữu được.

#2
phong than

phong than

    Đại Sư

  • Thành viên
  • 274 Bài viết
1) Chứng minh $AO_a,BO_b,CO_c$ đồng quy tại trung điểm $J$ của đoạn $OL$. Trong đó $O,L$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, điểm Lemoin của tam giác $ABC$.
*) Chứng minh $ \vec{AO_a }=k(\vec{AL}+\vec{AO})$.
2) Chứng minh rằng $OM=ON,LM=LN$, trong đó $M,N$ là 2 điểm Brocard của tam giác $ABC$ và $ \widehat{MBC}$ là góc Brocard.
*) Gọi $A',B',C'$ là tâm các đường tròn đi qua $B,C$ và tiếp xúc với $CA$,...
Khi đó dễ thấy tam giác $A',B',C',O$ là ảnh của $A,B,C,N$ qua tích của phép quay tâm $M$ góc $|\dfrac{\pi}{2}-\alpha|$,($\alpha$ là góc Brocard) và phép vị tự tâm $M$ tỉ số $k=. . .$.
Ta chỉ cần chứng minh rằng $J$ là điểm Lemoin của tam giác $A'B'C'$.
Tức $a^2\vec{JA'}+b^2\vec{JB'}+c^2\vec{JC'}=0$.

#3
thegioitoanhoc

thegioitoanhoc

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 77 Bài viết
Nó còn có 1 lời giải nữa là sử dụng hàng điểm điều hòa , anh em thử nhé !

#4
Mashimaru

Mashimaru

    Thượng sĩ

  • Hiệp sỹ
  • 264 Bài viết
Cách tiếp cận của mình là như sau:

Gọi $d_a$ là đường trung trực của $BC$ và $A_2$ là cực của $BC$ đối với $(O)$. Thế thì $O,O_a,A_2\in d_a$. Qua $A$ lại kẻ đường thẳng $l_a // OL$, đặt $S_a\equiv l_a\cap d_a$. Để chứng minh $AO_a$ đi qua trung điểm của $OL$ thì ta cần chứng minh $(AA_2,AO,AO_a,AS_a)=-1$ hay $(A_2OO_aS_a)=-1$. Lúc này chiếu $O_a,O,A_2$ lên $AB$, với chú rằng $(OO_a,AB)\equiv \dfrac{\pi}{2}+(BC,AB)\pmod{\pi}$, ta tính được tỉ số kép $(A_2OO_aS_a)=-1$.

Ngoài ra nếu đề chỉ yêu cầu là "chứng minh $AO_a,BO_b,CO_c$ đồng qui" thì có một lời giải khá đẹp bằng nghịch đảo. Tuy nhiên để chỉ ra tính chất của điểm đồng qui thì mình chưa tìm được cách nào ít phải tính toán hơn cách này.
Và như thế, hạnh phúc thật giản dị, nhưng đó là điều giản dị mà chỉ những người thực sự giàu có trong tâm hồn mới sở hữu được.

#5
lamminhbato

lamminhbato

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
Bài này cuả anh Hiếu ko hiểu lại "na ná" bài nằm trong đợt "ôn thi Olympic 30/4" cuả em năm ngoái :perp . Lời giải xấu xí cuả em lúc ấy như sau: :perp

Gọi $O$ là tâm cuả vòng tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$

(1) Chứng minh $B,C,B_a,C_a$ đồng viên. Cái này đơn giản thôi! Ta có thể chứng minh theo cách này: Ta có $AB_aA_1C_a$ là hình bình hành do đó $AA_1,B_aC_a$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Ta lại thấy rằng $AA_1$ là đường đối trung cuả $\triangle ABC$. Từ đó dẫn đến rằng $B_aC_a,BC$ là hai đường đối song wrt $\angle A$ $\Rightarrow$ $B,C,B_a,C_a$ đồng viên.

(2) Chứng minh $AO_a,BO_b,CO_c$ đồng quy. Từ gt bài toán rằng: "... chọn $B_a,C_a$ trên $AB,AC$ lần lượt sao cho $AB_aA_1C_a$ là hình bình hành..." khiến cho ta suy nghĩ tự nhiên đến một hướng giải quyết sau:
Đặt $k=\dfrac {AA_1}{AK}$, trong đó $K$ là điểm symmedian wrt $\triangle ABC$. Xét phép vị tự tâm $A$, tỉ số $k$, ta có $\mathcal {V}(A,k)$ $:B\mapsto B'$, $C\mapsto C'$, $K\mapsto A_1$. Khi ấy $\triangle ABC\mapsto \triangle AB'C'$ đồng thời $A_1$ cũng sẽ là điểm symmendian wrt $\triangle AB'C'$. Lại để ý rằng, qua $A_1$ ta đã có các đường thằng $A_1B_a,A_1C_1,$ $\overline {BA_1C}$ song song lần lượt với $AC',AB',B'C'$ do đó $(BCC_aB_a)$ chính là đường tròn Lemoine thứ nhất cuả $A_1$ wrt $\triangle AB'C'$. Khi ấy $O_a$ lúc này đóng vai trò là tâm cuả đường tròn Lemoine nói trên sẽ là trung điểm cuả $A_1O'$, trong đó $O'$ là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác $AB'C'$. Mặt khác $A_1O'|| KO$ (chú ý là qua phép vị tự $V(A,k)$). Do đó $AO_a$ đi qua trung điểm cuả $KO$. Lập luận tương tự cho $BO_b$, $CO_c$. Từ đây ta có đpcm. $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamminhbato: 20-08-2009 - 21:30





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh