Chủ đề này có 10 trả lời

[quangtan64]

Tim max
cosx+cosy+cos(x+y)

[123455]

Tim max
cosx+cosy+cos(x+y)

dung công thức cộng đưa về tam bậc hai ẩn là $cos(\dfrac{x+y}{2})$
sau đó khảo sát trên đoạn [-1;1]

[canhochoi]

Cho mình hỏi nhỏ : x=y=k2pi thì sao nào?

[quangtan64]

Cho mình hỏi nhỏ : x=y=k2pi thì sao nào?

Bạn làm thử đi mình chưa hiểu rõ cách làm của bạn lắm

[CD13]

Tim max
cosx+cosy+cos(x+y)

$ \begin{array}{l} \cos x + \cos y = 2\cos \left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)\cos \left( {\dfrac{{x - y}}{2}} \right) \le 2\cos \left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right) \\ \Rightarrow P \le 2\cos ^2 \left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right) + 2\cos \left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right) - 1 \\ = 2t^2 + 2t - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t = \cos \left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right) \in [ - 1;1] \\ \end{array}$
Suy ra maxP = 3 tại t = 1 tức là:
$\left\{ \begin{array}{l} \cos \left( {\dfrac{{x - y}}{2}} \right) = 1 \\ \cos \left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right) = 1 \\ \end{array} \right. \Rightarrow x = y = k2\pi$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongtroi: 23-08-2010 - 09:15

[dark templar]

$ \begin{array}{l} \cos x + \cos y = 2\cos \left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right)\cos \left( {\dfrac{{x - y}}{2}} \right) \le 2\cos \left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right) \\ \Rightarrow P \le 2\cos ^2 \left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right) + 2\cos \left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right) - 1 \\ = 2t^2 + 2t - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t = \cos \left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right) \in [ - 1;1] \\ \end{array}$
Suy ra maxP = 3 tại t = 1 tức là:
$\left\{ \begin{array}{l} \cos \left( {\dfrac{{x - y}}{2}} \right) = 1 \\ \cos \left( {\dfrac{{x + y}}{2}} \right) = 1 \\ \end{array} \right. \Rightarrow x = y = k2\pi$

Mình nghĩ BĐT $cosx +cosy \leq cos(\dfrac{x+y}{2})$ chỉ đúng trong đoạn từ $[0:2 \pi ]$ Nên bạn phải xét 2 TH là nằm trong đoạn hoặc ngoài đoạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 08-09-2010 - 21:46

[CD13]

Mình nghĩ BĐT $cosx +cosy \leq cos(\dfrac{x+y}{2})$ chỉ đúng trong đoạn từ $[0:2 \pi ]$

Ý bạn là sao? Nó đúng với mọi x, y chứ bạn!

Thân

[dark templar]

Ý bạn là sao? Nó đúng với mọi x, y chứ bạn!

Thân

Mình ko nhớ cách CM nhưng lúc mình học chuyên ,thầy mình bảo đây là BĐT có đk như trên

[CD13]

Mình ko nhớ cách CM nhưng lúc mình học chuyên ,thầy mình bảo đây là BĐT có đk như trên

Không đâu, bạn nhớ lộn rồi đấy! Hay là bạn cố tìm phản ví dụ đi!

Thân

[dark templar]

Không đâu, bạn nhớ lộn rồi đấy! Hay là bạn cố tìm phản ví dụ đi!

Thân

Để mình hỏi thầy lại

[NightBaron]

Ý bạn là sao? Nó đúng với mọi x, y chứ bạn!

Thân

BDT $cosx+cosy\le 2.cos\dfrac{x+y}{2}$ (Jensen) chỉ đúng vs $x,y\in [-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}]$

Có thể lấy $x=30^o; y=120^o$.

Cách cm của bạn cũng chưa chặt chẽ:

Từ $cos\dfrac{x-y}{2}\le 1\Rightarrow cos\dfrac{x+y}{2}.cos\dfrac{x-y}{2}$ là sai! Neu $cos\dfrac{x+y}{2}< 0$ thi sao?

Điều kiện $x,y\in [-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}]$ đảm bảo rằng $cos\dfrac{x+y}{2}\ge 0$. Như vậy phép cm mới hoàn chỉnh!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NightBaron: 08-09-2010 - 22:41