Chủ đề này có 2 trả lời

[shinichiconan1601]

Tìm tất cả các hàm số $f$: $R$-->$R$ sao cho:
$f(f(x-y))+xy=f(x)-f(y)+f(x).f(y)$ $x,y$ $R$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichiconan1601: 31-08-2009 - 16:17

[shinichiconan1601]

sao mãi mà vẫn chưa có ai trả lời vậy giúp giùm mình cái??????????? ??????????????????????????

[shinichiconan1601]

Đặt $f(0)=k$, cho $x=y=k$ ta được $f(k)=(f(k)^2-k^2$ (1)
Cho $x=y=0$ ta có$ f(k)=k^2$ (2)
Từ (1) và (2) ta có: $k^2=k^4-k^2$ $k^2.(k^2-2)=0$
cho $x=k$; $y=0$ ta có: $f(f(k))=f(k)-a+kf(k)=k^3+k^2-k$
thay $x=y=f(k)$ ta có: $f(k)=(f(f(k)))^2-(f(k))^2$
$(f(f(k)))^2=(f(k))^2+f(k)=k^4+k^2$
như vậy ta có hệ sau: $k^2(k^2-2)=0$ và $(k^3+k^2-k)^2=k^4+k^2$.
giả hệ trên ta có nghiệm duy nhất $k=0$ Vậy $f(0)=0$
+ thay $y=0$ vào ta được $f(f(x))=f(k) \forall x \in R$ như thế ta lại có
$f(x-y)=f(x)-f(y)+f(x).f(y)-xy \forall x;y \in R$ (3)
+ thay $x=0$ hệ thức trở thanh $f(-y)=-f(y) \forall y \in R$ $f$ là hàm số lẻ.
Mặt khác thay $x=y$ vào (3) ta có $(f(k))^2-x^2=0$
$(f(k))^2=x^2 \forall x \in R$ $f(x)=x$ hoặc $f(x)=-x$
Nhận xết rằng nếu có $x$ mà $f(x)=0$ thì $x^2=(f(x))^2=0$ $x=0$
Vậy $f(x)=0$ $x=o$
Giả sử $x \neq 0$ mà $f(x)=-x$ khi đó $f(-x)=f(f(x))=f(x)$
$-f(x)=f(x)$ $f(x)=0$ $x=0$ vô lí
Thử lại $f(x)=x$ thỏa mãn
Vậy hàm số cần tìm là $f(x)=x$ với mọi $x$ thuộc $R$