Chủ đề này có 4 trả lời

[NO1]

cho các số thực thuộc (0,1): $a_{1}, a_{2},..., a_{669}$
CMR tồn tại 2 số $ a_{i}, a_{j}$ thỏa mãn:
0<$ a_{i}a_{j}( a_{i}- a_{j} )$<$ \dfrac{1}{2007} $

[mai quoc thang]

cho các số thực thuộc (0,1): $a_{1}, a_{2},..., a_{669}$
CMR tồn tại 2 số $ a_{i}, a_{j}$ thỏa mãn:
0<$ a_{i}a_{j}( a_{i}- a_{j} )$<$ \dfrac{1}{2007} $

Một ứng dụng của lượng giác

[NO1]

Một ứng dụng của lượng giác

anh có thể viết rõ ra cho em đc ko.em vẫn chưa nghĩ đc.trông đề thì rất hay mà khó thế.^^

[lovemaths_hn]

cho các số thực thuộc (0,1): $a_{1}, a_{2},..., a_{669}$
CMR tồn tại 2 số $ a_{i}, a_{j}$ thỏa mãn:
0<$ a_{i}a_{j}( a_{i}- a_{j} )$<$ \dfrac{1}{2007} $

Không mất tổng quát giả sử $0<x_0<x_1<...<x_{669}<1$.
Đặt $S=\sum_{i=0}^{668}x_ix_{i+1}\left(x_{i+1}-x_i \right)\leq\sum_{i=0}^{668}\left(\dfrac{x_i+x_{i+1}}{2} \right)^2\left(x_{i+1}-x_i \right)=$
$=\dfrac{1}{4}\sum_{i=0}^{668}\left(x_i+x_{i+1} \right)^2\left(x_{i+1}-x_i \right)=\dfrac{1}{4}\sum_{i=0}^{668}\left(x_i^2+2x_ix_{i+1}+x_{i+1}^2 \right)\left(x_{i+1}-x_i \right)=$
$=\dfrac{1}{4}\sum_{i=0}^{668}\left(x_ix_{i+1}\left(x_{i+1}-x_i \right) \right)+\dfrac{1}{4}\sum_{i=0}^{668}(-x_i^3+x_{i+1}^3)=\dfrac{1}{4}S+\dfrac{1}{4}\left(x_{669}^3-x_0^3 \right)<\dfrac{1}{4}S+\dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow S<\dfrac{1}{3}$
Do đó theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 1 số mà $0<x_ix_{i+1}\left(x_{i+1}-x_i \right)<\dfrac{1}{3.669}=\dfrac{1}{2007}$

[NightBaron]

Không mất tổng quát giả sử $0<x_0<x_1<...<x_{669}<1$.
Đặt $S=\sum_{i=0}^{668}x_ix_{i+1}\left(x_{i+1}-x_i \right)\leq\sum_{i=0}^{668}\left(\dfrac{x_i+x_{i+1}}{2} \right)^2\left(x_{i+1}-x_i \right)=$
$=\dfrac{1}{4}\sum_{i=0}^{668}\left(x_i+x_{i+1} \right)^2\left(x_{i+1}-x_i \right)=\dfrac{1}{4}\sum_{i=0}^{668}\left(x_i^2+2x_ix_{i+1}+x_{i+1}^2 \right)\left(x_{i+1}-x_i \right)=$
$=\dfrac{1}{4}\sum_{i=0}^{668}\left(x_ix_{i+1}\left(x_{i+1}-x_i \right) \right)+\dfrac{1}{4}\sum_{i=0}^{668}(-x_i^3+x_{i+1}^3)=\dfrac{1}{4}S+\dfrac{1}{4}\left(x_{669}^3-x_0^3 \right)<\dfrac{1}{4}S+\dfrac{1}{4}$
$\Rightarrow S<\dfrac{1}{3}$
Do đó theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 1 số mà $0<x_ix_{i+1}\left(x_{i+1}-x_i \right)<\dfrac{1}{3.669}=\dfrac{1}{2007}$

anh Vinh tái xuất!