Chủ đề này có 5 trả lời

[Nguyễn Bảo Phương]

Cho a,b,c > 0
CM $ \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2} + \dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2} + \dfrac{c^3}{a^2+ac+c^2} \geq \dfrac{a+b+c}{3} $

[vuthanhtu_hd]

Cho a,b,c > 0
CM $ \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2} + \dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2} + \dfrac{c^3}{a^2+ac+c^2} \geq \dfrac{a+b+c}{3} $

Lời giải.
Sử dụng Cauchy ngược dấu ta có $\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\dfrac{ab(a+b)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\dfrac{ab(a+b)}{3ab}=\dfrac{2}{3}a-\dfrac{b}{3}$
Viết 2 BĐT tương tự và cộng lại ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra $\leftrightarrow a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 04-09-2009 - 15:54

[conan123]

Cho x,y,z > 0
CM $ \dfrac{x^3}{x^2+xy+y^2} + \dfrac{y^3}{y^2+yz+z^2} + \dfrac{z^3}{z^2+zx+x^2} \geq \dfrac{x+y+z}{3} $

Ta có : $\[\sum{\dfrac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}=\sum{\dfrac{{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}}}\]$

Thật vậy $\[\Leftrightarrow x-y+y-z+z-x=0\]$(đúng)
Ta cm BĐT sau: $\[\dfrac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}\ge \dfrac{x+y}{3}\]$

Thật vậy: $\[\Leftrightarrow 3({{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}})\ge {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{(x-y)}^{2}}\ge 0\]$(đúng)

Ta có : $\[2VT=\dfrac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{3}}+{{z}^{3}}}{{{y}^{2}}+yz+{{z}^{2}}}+\dfrac{{{z}^{3}}+{{x}^{3}}}{{{z}^{2}}+zx+{{x}^{2}}}\]$

$\[\ge \dfrac{x+y}{3}+\dfrac{y+z}{3}+\dfrac{z+x}{3}=\dfrac{2(x+y+z)}{3}\]$
Vậy ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conan123: 04-09-2009 - 18:19

[nguyen_ct]

Ta có : $\[\sum{\dfrac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}=\sum{\dfrac{{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}}}\]$

Thật vậy $\[\Leftrightarrow x-y+y-z+z-x=0\]$(đúng)
Ta cm BĐT sau: $\[\dfrac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}\ge \dfrac{x+y}{3}\]$

Thật vậy: $\[\Leftrightarrow 3({{x}^{2}}-xy+{{y}^{2}})\ge {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{(x-y)}^{2}}\ge 0\]$(đúng)

Ta có : $\[2VT=\dfrac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{3}}+{{z}^{3}}}{{{y}^{2}}+yz+{{z}^{2}}}+\dfrac{{{z}^{3}}+{{x}^{3}}}{{{z}^{2}}+zx+{{x}^{2}}}\]$

$\[\ge \dfrac{x+y}{3}+\dfrac{y+z}{3}+\dfrac{z+x}{3}=\dfrac{2(x+y+z)}{3}\]$
Vậy ta có đpcm.

cách này rất hay

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen_ct: 04-09-2009 - 19:49

[AnSatTruyHinh]

Sơ cấp nè
$\sum{\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}}=\sum{\dfrac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}}\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum{a}.\sum{a^2}}=\dfrac{\sum{a^2}}{\sum{a}}\ge \dfrac{\sum{a}}{3}$

[Fredy]

Sơ cấp nè
$\sum{\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}}=\sum{\dfrac{a^4}{a^3+a^2b+ab^2}}\ge \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{\sum{a}.\sum{a^2}}=\dfrac{\sum{a^2}}{\sum{a}}\ge \dfrac{\sum{a}}{3}$

Cũng áp dụng BCS như bạn nhưng kết hợp chuẩn hóa p = a+b+c =1 và biến đổi p,q,r. Khi đó ta chỉ còn phải c/m:
1-2q 1/3
p/s: dài dòng nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Fredy: 06-09-2009 - 21:40