Chủ đề này có 5 trả lời

[nguyen_ct]

cho các số dương CMR:
$\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}} \le \sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}} $

[Lanyes]

cho các số dương CMR:
$\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}} \le \sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}} $

Chuẩn hóa cho ab+bc+ca=3 suy ra
$a + b + c \ge 3 $ và $ abc \le 1 \\ $
$\prod {(a + b)} = (\sum a )(\sum {ab)} - abc = 3(\sum a ) - abc \ge 8 $
$\Rightarrow \sqrt {\dfrac{{\sum {ab} }}{3}} = 1 \le \sqrt[3]{{\dfrac{{\prod {(a + b)} }}{8}}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lanyes: 18-09-2009 - 09:43

[nguyen_ct]

nếu thế này thì cần gì chuẩn hóa

[hoangnbk]

nếu thế này thì cần gì chuẩn hóa

Bài này là VD1.6.9 trong STBDT Anh nhở, thui post luôn lời giải trong ấy:
Chuẩn hóa $ ab+ bc + ca =3$, khi đó $ a+b+c \geq 3 $ và $abc \leq 1$
ta cần cm: $ \sqrt[3]{ \dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8} } \geq 1$
mà $(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = 3(a+b+c) -abc \geq 8$
Ta có dpcm
mọi người thử làm kiểu chuẩn hóa khác xem sao nhé.

[todinhtan]

cho các số dương CMR:
$\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}} \le \sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}} $

Đặt p=a+b+c;q=ab+bc+ca;r=abc.
Chuẩn hóa q=3. BĐT tương đương với
$r^2-6pr+9p^2\ge 64$
Đặt $f®=r^2-6pr+9p^2$
$f'®=2(r-3p)<0$ do $pq\ge 9r\Leftrightarrow p\ge 3r$
=> f® nghịch biến. Do $r\le \dfrac{p}{3}$ nên
$f®\ge f(\dfrac{p}{3})=\dfrac{64p^2}{9}\ge 64$ do $p\ge \sqrt{3q}=3$
=> đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi todinhtan: 22-09-2009 - 12:30

[- Nguyên Lê -]

cho các số dương CMR:
$\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}} \le \sqrt[3]{\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}} $

Có
$\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}8\ge\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}9\ge\dfrac{\sqrt{3(ab+bc+ca)}.(ab+bc+ca)}9$
$\Rightarrow$ đpcm