Chủ đề này có 2 trả lời

[mai quoc thang]

Cho $ a_1;a_2;...;a_n $ là các số nguyên phân biệt .

Chứng minh rằng các đa thức sau bất khả quy trên $ Q$ :

a) $ f(x)=(x-a_1)...(x-a_n)-1 $

b) $ f(x)=(x-a_1)^2...(x-a_n)^2 +1$

[Nguyễn VLinh]

Cho $ a_1;a_2;...;a_n $ là các số nguyên phân biệt .

Chứng minh rằng các đa thức sau bất khả quy trên $ Q$ :

a) $ f(x)=(x-a_1)...(x-a_n)-1 $

b) $ f(x)=(x-a_1)^2...(x-a_n)^2 +1$

Để ý rằng, trong cả 2 phần thì $ f(x) \in Z[x] $. Do đó, tính khả quy của $ f(x) $ trên $ Z[x] $ và $ Q[x] $ là như nhau (chứng minh cái này khá dài nên mình không post ở đây)

Giả sử $ f(x) = G(x).H(x), deg G, deg H \ge 1 $
a) Với $ i = 1,2,...,n $ thì $ f(a_i) = G(a_i).H(a_i) = -1 \rightarrow G(a_i) + H(a_i) = 0 $
Do $ deg (G + H) < n $ và $ G(a_i) + H(a_i) = 0 \forall i = 1,2,...,n $ nên $ G + H \equiv 0 \leftrightarrow G(x) = -H(x) \forall x $

Tức là $f(x) = -G^2(x) \le 0 \forall x$. Nhưng $ f(a_n + 1) \ge 0 $ nên từ đây suy ra vô lí. Vậy $ f(x) $ bất khả quy./.

b) Tương tự a), chú ý thêm hệ số cao nhất của $ G,H $ bằng nhau, nên ta có $ G(x) = H(x) $, tức là $ f(x) = G^2(x) $. Kết hợp với $ f(x) = (x - a_1)^2(x - a_2)^2...(x - a_n)^2 + 1 = Q^2(x) + 1$, nên ta phải có $ G^2(x) = Q^2(x) + 1 \rightarrow G(x) = 1 $, vô lí vì $ deg G > 0 $.
Vậy f bất khả quy

[nhoccoi]

Cơ bản chỉ có chứng minh cái bạn áp dụng thôi!!!
Với lại là giả sử a(k)=max{a(1,n)}
Khi đó F{a(k)+1}>0
Bạn cũng nhầm đề rồi.
Ở đây có sửa 1 tí không như trong sách!!!