Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{R} \to [ 0 \ ; \ + \infty ) $ thỏa mãn :
$ f(x+y) + f(x-y) - 2f(x) -y^2 = 0 \ \forall \ x;y \in \mathbb{R}$
Nguyễn Kim Anh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 25-09-2009 - 13:11
#1
Đã gửi 25-09-2009 - 13:10
supermember
-
- Hiệp sỹ
-
- 1646 Bài viết
Đại úy
Bài Toán :
Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{R} \to [ 0 \ ; \ + \infty ) $ thỏa mãn :
$ f(x+y) + f(x-y) - 2f(x) -y^2 = 0 \ \forall \ x;y \in \mathbb{R}$
Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{R} \to [ 0 \ ; \ + \infty ) $ thỏa mãn :
$ f(x+y) + f(x-y) - 2f(x) -y^2 = 0 \ \forall \ x;y \in \mathbb{R}$
Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui 
#2
Đã gửi 26-09-2009 - 22:47
nhoccoi
-
- Thành viên
-
- 20 Bài viết
Binh nhất
Cho x=y:
f(2x)+f(0)-2f(x)- x^{2} =0
Đặt G(x)=f(x)-f(0)
=>G(0)=0
G2x) - 2G(x) = x^{2}
2G(x) - 4G(x/2) = x^{2}/2
4G(x/2)- 8G(x/4) = x^{2}/4
......
2^{n} G(x/ 2^{n-1})- 2^{n+1} G(x/ 2^{n})= x^{2}/ 2^{n}
Cộng dọc lại:
G(2x)- G(x/ 2^{n})= 2 x^{2} - x^{2}/ 2^{n}
Khi n->
thì G(2x)= 2 x^{2}
Hay G(x)= x^{2}/2
=> f(x) = x^{2}/2 +c(hằng số)
f(2x)+f(0)-2f(x)- x^{2} =0
Đặt G(x)=f(x)-f(0)
=>G(0)=0
G2x) - 2G(x) = x^{2}
2G(x) - 4G(x/2) = x^{2}/2
4G(x/2)- 8G(x/4) = x^{2}/4
......
2^{n} G(x/ 2^{n-1})- 2^{n+1} G(x/ 2^{n})= x^{2}/ 2^{n}
Cộng dọc lại:
G(2x)- G(x/ 2^{n})= 2 x^{2} - x^{2}/ 2^{n}
Khi n->
thì G(2x)= 2 x^{2}Hay G(x)= x^{2}/2
=> f(x) = x^{2}/2 +c(hằng số)
THPT PHAN BỘI CHÂU
#3
Đã gửi 27-09-2009 - 01:42
tanlsth
-
- Hiệp sỹ
-
- 1428 Bài viết
Tiến Sĩ Diễn Đàn Toán
Giải sai rồi em. Hàm này không liên tục nên không áp dụng tính chất kia được. Tiếc là không có thời gian để giải mấy bài này, cần suy nghĩ
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
