Chủ đề này có 2 trả lời

[thuleter]

Bài 1
Chứng minh rằng hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

$\left\{ \begin{array}{l} 11^{xz} - 25^y = 71 \\ 11^z + 25^{\dfrac{y}{2}} = 21 \\ 11^{z(x - 1)} + 5^{\dfrac{y}{2}} = 11 \\ \end{array} \right. $
Bài 2:
xác định hàm số f thỏa điều kiện
$\dfrac{1}{2}f(xy) + \dfrac{1}{2}f(xz) - f(x)f(yz) \ge \dfrac{1}{4} $
mong mọi ngừoi giúp đỡ, em đang gấp lắm

[nhoccoi]

Bài 2:
Cho x=y=o => f(0)=1/2
x=y=1 => f(1)=1/2
x=0 =>f(yz) 1/2 hay f(x) 1/2
y=z=1=> f(x) 1/2
Do đó f(x)=1/2

[tanlsth]

Bài 1 thì chỉ cần đặt $a=11^{z(x-1)}, b=5^{\dfrac{y}{2}}, c=11^z$ suy ra $a,b,c>0$

Từ giả thiết ta có $a+b=11, c+b^2=21, ac-b^4=71$. Thế $a,c$ bởi $b$ ta có được phương trình

$b^4-b^3+11b^2+21b-160=0$

Xét hàm $f(b)=b^4-b^3+11b^2+21b-160$ có $f'(b)=4b^3-3b^2+22b+21>0$ với mọi $b>0$. Cái này chứng minh đơn giản vì chỉ cần xét $b<1$ và $b>1$

Suy ra $f(b)$ đồng biến trên $(0,+\infty)$ mà lại có $f(0)<0$ nên $f(b)$ có nghiệm dương duy nhất $b_0$. Vì $f(3)>0$ nên $b_0<3$ hay hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất vì $a,c>0$

Từ đó ta có điều phải chứng minh


Bài 2 cho $x=y=z=0$ thì ta có $f(0)-f^2(0) \geq \dfrac{1}{4}$ suy ra $f(0)=\dfrac{1}{2}$

Cho $z=0$ suy ra $f(x) \leq \dfrac{1}{2}$ với mọi $x$

Cho $x=y=z=1$ suy ra $f(1)-f^2(1) \geq \dfrac{1}{4}$ suy ra $f(1)=\dfrac{1}{2}$

Cho $y=z=1$ suy ra $f(x) \geq \dfrac{1}{2}$ với mọi $x$

Vậy $f(x)=\dfrac{1}{2}$ với mọi $x$