Bài 1
Chứng minh rằng hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
$\left\{ \begin{array}{l} 11^{xz} - 25^y = 71 \\ 11^z + 25^{\dfrac{y}{2}} = 21 \\ 11^{z(x - 1)} + 5^{\dfrac{y}{2}} = 11 \\ \end{array} \right. $
Bài 2:
xác định hàm số f thỏa điều kiện
$\dfrac{1}{2}f(xy) + \dfrac{1}{2}f(xz) - f(x)f(yz) \ge \dfrac{1}{4} $
mong mọi ngừoi giúp đỡ, em đang gấp lắm
có 2 bài, mong mọi ngừoi giúp đỡ
Bắt đầu bởi thuleter, 26-09-2009 - 13:34
#1
Đã gửi 26-09-2009 - 13:34
#2
Đã gửi 26-09-2009 - 19:39
Bài 2:
Cho x=y=o => f(0)=1/2
x=y=1 => f(1)=1/2
x=0 =>f(yz) 1/2 hay f(x) 1/2
y=z=1=> f(x) 1/2
Do đó f(x)=1/2
Cho x=y=o => f(0)=1/2
x=y=1 => f(1)=1/2
x=0 =>f(yz) 1/2 hay f(x) 1/2
y=z=1=> f(x) 1/2
Do đó f(x)=1/2
THPT PHAN BỘI CHÂU
#3
Đã gửi 26-09-2009 - 20:17
Bài 1 thì chỉ cần đặt $a=11^{z(x-1)}, b=5^{\dfrac{y}{2}}, c=11^z$ suy ra $a,b,c>0$
Từ giả thiết ta có $a+b=11, c+b^2=21, ac-b^4=71$. Thế $a,c$ bởi $b$ ta có được phương trình
$b^4-b^3+11b^2+21b-160=0$
Xét hàm $f(b)=b^4-b^3+11b^2+21b-160$ có $f'(b)=4b^3-3b^2+22b+21>0$ với mọi $b>0$. Cái này chứng minh đơn giản vì chỉ cần xét $b<1$ và $b>1$
Suy ra $f(b)$ đồng biến trên $(0,+\infty)$ mà lại có $f(0)<0$ nên $f(b)$ có nghiệm dương duy nhất $b_0$. Vì $f(3)>0$ nên $b_0<3$ hay hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất vì $a,c>0$
Từ đó ta có điều phải chứng minh
Bài 2 cho $x=y=z=0$ thì ta có $f(0)-f^2(0) \geq \dfrac{1}{4}$ suy ra $f(0)=\dfrac{1}{2}$
Cho $z=0$ suy ra $f(x) \leq \dfrac{1}{2}$ với mọi $x$
Cho $x=y=z=1$ suy ra $f(1)-f^2(1) \geq \dfrac{1}{4}$ suy ra $f(1)=\dfrac{1}{2}$
Cho $y=z=1$ suy ra $f(x) \geq \dfrac{1}{2}$ với mọi $x$
Vậy $f(x)=\dfrac{1}{2}$ với mọi $x$
Từ giả thiết ta có $a+b=11, c+b^2=21, ac-b^4=71$. Thế $a,c$ bởi $b$ ta có được phương trình
$b^4-b^3+11b^2+21b-160=0$
Xét hàm $f(b)=b^4-b^3+11b^2+21b-160$ có $f'(b)=4b^3-3b^2+22b+21>0$ với mọi $b>0$. Cái này chứng minh đơn giản vì chỉ cần xét $b<1$ và $b>1$
Suy ra $f(b)$ đồng biến trên $(0,+\infty)$ mà lại có $f(0)<0$ nên $f(b)$ có nghiệm dương duy nhất $b_0$. Vì $f(3)>0$ nên $b_0<3$ hay hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất vì $a,c>0$
Từ đó ta có điều phải chứng minh
Bài 2 cho $x=y=z=0$ thì ta có $f(0)-f^2(0) \geq \dfrac{1}{4}$ suy ra $f(0)=\dfrac{1}{2}$
Cho $z=0$ suy ra $f(x) \leq \dfrac{1}{2}$ với mọi $x$
Cho $x=y=z=1$ suy ra $f(1)-f^2(1) \geq \dfrac{1}{4}$ suy ra $f(1)=\dfrac{1}{2}$
Cho $y=z=1$ suy ra $f(x) \geq \dfrac{1}{2}$ với mọi $x$
Vậy $f(x)=\dfrac{1}{2}$ với mọi $x$
Learn from yesterday,live for today,hope for tomorrow
The important thing is to not stop questioning
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh