Chủ đề này có 5 trả lời

[supermember]

Bài Toán :

Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ thỏa mãn $2$ điều kiện :

$i / f( m^2 + n^2 ) \ = \ (f(m))^2 + (f(n))^2 \ \forall \ m;n \ \in \ \mathbb{N}$

$ ii/ \ \ 0< f(1)$

NKA

[QuylaoKame]

Bài này hay đấy!
Cho$m=n=o$ được $f(0)= 2f(0)^{2}$, do đó $f(0)=0$, do tập đích là $N \Rightarrow f(m^{2})=f(m)^{2}$. Vậy có thể viết bài toán dưới dạng:
$f(m^{2}+n^{2})= f(m^{2}) + f(n^{2})$. Từ $f(1) > 0 \Rightarrow f(1)=1$
Do đó:$f(2) = (1^{2}+1^{2})= f(1)^{2}+f(1)^{2}=2, f(4)= f(2^{2})=f(2)^{2}=4, f(5)=f(1)^2+f(2)^2=5, f(8)=8$.
Hơn nữa $25= f(5)^{2}= f(3)^{2}+ f(4^{2})= f(3)^{2}+ 16 \Rightarrow f(3)=3$. Từ đó cũng tính được $f(9), f(10), f(7)$. Do $10^{2}=6^{2}+8^{2} \Rightarrow f(6)$. Như vậy ta tính được $f(n), n \leq10$. Sử dụng các đẳng thức:
$(5k+1)^{2}+2^{2}= (4k+2)^{2}+(3k+1)^{2}, (5k+2)^{2}= (4k+1)^{2}+(3k+2)^{2}, (5k+3)^{2}= (4k+3)^{2}+(3k+1)^{2}, (5k+4)^{2}= (4k+2)^{2}+(3k+4)^{2}, (5k+5)^{2}= (4k+4)^{2}+(3k+3)^{2}$
. Sử dụng các đẳng thức này cho phép tính mọi $f(n) \Rightarrow f(n)=n \forall n$

[NguyenTienTai]

Cho$m=n=o$ được $f(0)= 2f(0)^{2}$, do đó $f(0)=0$, do tập đích là $N \Rightarrow f(m^{2})=f(m)^{2}$.
bạn giải thích đoạn này nhờ cái

[Toanlc_gift]

do tập đích là $N \Rightarrow f(m^{2})=f(m)^{2}$

chỗ này không ổn rồi

[Janienguyen]

e thấy đúng mà!
từ gt thì thay n=0 với mọi m thi ta đc (f(m))^2=f(m^2)
với gt thì cái này chẳg có j sai cả!
anh toanlc gift thử chỉ rõ xem nào!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 13-10-2009 - 20:47

[QuylaoKame]

Cho$m=n=o$ được $f(0)= 2f(0)^{2}$, do đó $f(0)=0$, do tập đích là $N \Rightarrow f(m^{2})=f(m)^{2}$.
bạn giải thích đoạn này nhờ cái

$f(0)= 2f(0)^{2} \Rightarrow $ hoặc $f(0)=0$, hoặc $f(0)=$ 1/2, do $f(n) \in N$ nên loại $f(0)=$ 1/2
Từ đó chọn $m$ bất kì, $n=0$được $f(m^{2})=f(m)^{2}$.