Chủ đề này có 5 trả lời

[Đỗ Quang Duy]

Cho các số a,b,c là các số dương. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

[minhtuyb]

Cho các số a,b,c là các số dương. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

Đặt $\sqrt[3]{a}=x;\sqrt[3]{b}=y;\sqrt[3]{c}=z$ với điều kiện $x,y,z>0$. Khi đó BĐT cần cm trở thành:
$$\frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{z^3}+\frac{z^3}{x^3}\ge \frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}(*)$$
-Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số có:
$$\frac{x^3}{y^3}+\frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{z^3}\ge 3\frac{x^2}{yz}$$
$$\frac{y^3}{z^3}+\frac{y^3}{z^3}+\frac{z^3}{x^3}\ge 3\frac{y^2}{zx}$$
$$\frac{z^3}{x^3}+\frac{z^3}{x^3}+\frac{x^3}{y^3}\ge 3\frac{z^2}{xy}$$
Cộng vế với vế của các BĐT trên rồi chia 2 vế cho 3 suy ra BĐT $(*)$ đúng. Vậy BĐT ban đầu được cm.
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z\Leftrightarrow a=b=c\ \ <Q.E.D>$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhtuyb: 26-05-2012 - 13:02

[Nguyenhuyen_AG]

Bài này có một cách khá hay bằng Cauchy-Schwarz http://mathifc.wordp.../inequality-77/

[tim1nuathatlac]

Cho các số a,b,c là các số dương. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

file:///C:\Users\HOANLE~1\AppData\Local\Temp\msohtml1\01\clip_image002.gif

[badboykmhd123456]

Cho các số a,b,c là các số dương. Hãy chứng minh bất đẳng thức sau:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a} \geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$

2 cách ở đây

http://diendantoanho...ac2abcsqrt3abc/

[Tienanh tx]

$\oplus$Áp dụng BĐT $AM-GM$ cho $3$ số:

 

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c} \ge \dfrac{3\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{bc}}$

 

$\oplus$ Tương tự,ta có:

 

$3VT \ge \dfrac{3(a+b+c)}{\sqrt[3]{abc}}$

 

$\Longrightarrow$ $VT \ge \frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}=a+b+c$

 

$QED$