Chủ đề này có 1 trả lời

[KhùngLãoQuái]

Bài Toán :

Cho số nguyên dương $n \geq 2 $

Xét tập $ \mathbb{A} = \{ 1 ;2; ...; 2n \} $ . Giả sử $ \mathbb{S} \subseteq \mathbb{A} ; | \mathbb{S} | = n $

Biết rằng với $2$ phần tử phân biệt $a ; b $ bất kỳ thuộc $ \mathbb{S}$ , ta luôn có : $ \[ a ; b \] > 2n $

Chứng minh rằng mọi phần tử thuộc $ \mathbb{S}$ đều lớn hơn $\left \lfloor \dfrac{2n}{3} \right \rfloor$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KhùngLãoQuái: 11-10-2009 - 09:59

[QuylaoKame]

Giả sử các phần tử của $S$ là $ a_{1} , a_{2} ...$.Phản chứng nếu tồn tại, giả sử $ a_{1} $ $\leq \left<\dfrac{2n}{3} \right>$khi đó $ 2a_{1} $ và$ 3a_{1} $ đều <= 2n.
Xét tập n+1 phần tử $ 2a_{1} $, $ 3a_{1} $, $ a_{2} , a_{3} ...$. Dễ CM các số trên đều khác nhau (do UCLN của chúng <2n).
Theo nguyên lí Diriclet tồn tại hai số chia hết cho nhau, và điều này mâu thuãn với giả thiết $ \Rightarrow $ đpcm!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuylaoKame: 14-10-2009 - 17:24