Chủ đề này có 5 trả lời

[NO1]

cho các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn $0<a^2+b^2-abc \leq c $
CMR: $a^2+b^2-abc $ là số chính phương.

[namdung]

Bài này khá hay mà chưa thấy ai giải nhỉ?

[chiphuong92]

sao go mai ma ko dc cac ky hien toan hoc nhỉ.máy tính co can cai dat phan mem go cong thuc toan hoc ko nhi....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chiphuong92: 18-02-2010 - 15:06

[chiphuong92]

Bài này khá hay mà chưa thấy ai giải nhỉ?

day la bai 1 thi Duyen Hai 09 do Truong Nguyen Trai de Nghị, có trên mathlinks....
giả sử $ a :geq b $, rồi cm: $a^2+b^2-abc=b ^2 $ là xong...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chiphuong92: 23-04-2010 - 09:10

[match_math]

cho các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn $0<a^2+b^2-abc \leq c $
CMR: $a^2+b^2-abc $ là số chính phương.

Đáp án

[lovemaths_hn]

cho các số nguyên dương a,b,c thỏa mãn $0<a^2+b^2-abc \leq c $
CMR: $a^2+b^2-abc $ là số chính phương.

+) TH1: Nếu c=1, ta có $0<a^2+b^2-ab \leq 1$
Do đó $a^2+b^2-ab=1$, nên ta có đpcm.
+) TH2: c=2, khi đó hiển nhiên ta có đpcm.
+) TH3: $c>2$. Giả sử $a^2+b^2-abc=n (0<n\leq c$ (1)
GS $(a_0,b_0)$ là một nghiêm của (1) thỏa mãn $a_0<b_0$, và tổng $(a_0+b_0)$ là max trong tất cả các nghiệm.
xét $f(a)=a^2-ab_0c+b_0^2-n$
Khi đó f(a) ngoài nghiệm a0 còn có nghiệm $a_1=\dfrac {b_0^2-n} {a_0}$ là số nguyên.
Với$b_0^2-n<0$. Từ (1) suy ra $a_0^2-a_0b_0c>0$ nên $a_0-b_0c>0$ ( VL với c>2)
Suy ra $b_0^2-n>0$, suy ra $a_1>0$
Theo cách xác định $a_0, b_0)$ ta có $a_1+b_0\geq a_0+b_0$, nên $a_1 \leq a_0 \leq b_0 \Rightarrow f(b_0) \geq 0$
$\Leftrightarrow 2b_0^2-b_0^2c-n \geq 0 \Leftrightarrow n \leq b_0(2-c) <0 $ (do c>2)
$\Rightarrow a^2+b^2-abc=0 (VL)$
Vậy ta luôn có $a^2+b^2-abc$ là số chính phương.