Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $1$ số trong $r$ số nguyên nói trên chia hết cho $p$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1536 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:ĐH Ngoại Thương tp Hồ Chí Minh
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 18-10-2009 - 01:21

Bài Toán :


Cho các số nguyên tố $ p ; q $ và số nguyên dương $r$ thỏa mãn các điều kiện :

$ p > r^{q-1} \ ; \ q| (p-1) \ ; \ q \not | r$

Giả sử tồn tại $r$ số nguyên $ a_1 ; a_2 ; ...; a_r$ sao cho : $ \sum_{i=1}^{r} a^{\dfrac{p-1}{q}}_i \ \equiv 0 \ \ ( mod \ \ p)$


Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $1$ số trong $r$ số nguyên nói trên chia hết cho $p$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 14-09-2018 - 20:59

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2 ngocanh69

ngocanh69

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết

Đã gửi 21-09-2018 - 08:11

Giả sử $s=2^a5^b m$ với $a,b\geq 0$ và $\gcd(m,10)=1$.

Theo định lý Euler \begin{align*}
10^{\phi(m)}& \equiv 1 \mod m\\
10^{2\phi(m)}& \equiv 1 \mod m\\
\ldots&\\
10^{m\phi(m)}& \equiv 1 \mod m
\end{align*}
Đặt $T=10^{\phi(m)}+10^{2\phi(m)}+\cdots+10^{m\phi(m)} $ thì $T\equiv 0\mod m$ và $T$ có tổng các chữ số bằng $m$ (vì nó chứa các chỉ chứa các chữ số $0$ và $m$ chữ số $1$).

Gọi $n=\overline{TT\ldots T0\ldots0}$ gồm $2^a5^b$ số $T$ viết cạnh nhau, và viết thêm $\max(a,b)$ chữ số $0$ ở cuối. 

Rõ ràng $n$ có tổng các chữ số bằng $s=2^a5^bm$ và chia hết cho $s \mid n$.
------------------------------
Lấy ví dụ s=12 thì n=48. Từ đó ta đề xuất bài toán khó hơn.
Cho số nguyên dương $s$, tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất có tổng các chữ số bằng $s$ và $s\mid n$.  






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh