Chủ đề này có 5 trả lời

[ngôctử]

Mặt phẳng và đường thẳng trong không gian



1. Viết phương trình mặt phẳng (P) thoả điều kiện cho trước

Phương trinh mp (P) qua có vtpt (a;b;c) là = 0.
( 0)
Nhân xét : Để viết PT mp cần xác định một điểm thuộc (P) và một vtpt của nó.

Tuy nhiên một trong hai hoặc cả hai yếu tố trên thường bị dấu đi. Vài ví dụ về cách dấu:
- (P) song song với mp (Q) => (P) có vtpt là vtpt của (Q)
- (P) có hai vectơ chỉ phương => (P) có vtpt là tích có hướng của hai vtcp ấy
- (P) vuông góc với mp (Q) => (P) có vtcp là vtpt của (Q)
- (P) chứa đường thẳng D => (P) có vtcp là vtcp của D và qua điểm M thuộc D

Ngoài ra khi cho (P) chứa đường thẳng D => (P) thuộc chùm mặt phẳng có trục là D.

Chùm mặt phẳng : Tập hợp các mp đi qua giao tuyên của hai mp (Q): Ax+By+Cz+D = 0 và ( R ): A’x+B’y+C’z+D’ = 0 (hay đi qua đường thẳng d: thì cũng thế) được gọi là một chùm mp, d gọi là trục của chùm.
mp (P) thuộc chùm có phương trinh: m(Ax+By+Cz+D) + n(A’x+B’y+C’z+D’) = 0 (1) ( 0), một vtpt là: = (mA+nA’;mB+nB’;mC+nC’ )
Để xác định mp (P) ta xác định các tham số m,n.
Chú ý rằng nếu m = 0 thì (P) chính là mp ( R ). Nếu m khác 0 thì chia hai vế cho m rồi đặt k = m/n ta có pt của (P) chỉ phụ thưộc vào k.

Một số ví dụ thưòng gặp về cách tính m, n:
- (P) qua M => thế toạ độ của M vào pt của chùm => m,n
- (P) vuông góc với mp (Q) có vtpt => hai vtpt vuông góc <=> = 0. Giải ra ta được m,n
- (P) // mp (Q) có vtpt = (a,b,c) => hai vtpt cùng phương <=> (mA+nA’) : (mB+nB’) : (mC+nC’) = a:b:c => m,n
- (P) // đường thẳng d có vtcp => vtpt của (P) và vtcp của d vuông góc, suy ra cách tính m,n.
- (P) vuông góc với d =>vtpt của (P) và vtcp của d cùng phương => m,n

[ngôctử]

Bài tập 1 :

Trong hệ trực chuẩn Oxyz cho A(1;2;3), B(0;-1;1), C(1;1;0), mp (Q): x-y+z-1= 0, ( R ): x+2y-z+3 = 0
đường thẳng D: và D’: x = 2+t; y = 1+ 2t; z = 5- 3t (t thuộc R)

1. Xác định các vtpt của (Q), ( R ), vtcp của (D), (D’). Xác định một điểm M thuộc (D)

Viết phương trinh mp (P):
2. qua A, vuông góc với Oy
3. qua A, chứa Ox
4. qua A, vuông góc với BC
5. qua A, song songvới mp (Q)
6. trung trực của đoạn AB
7. qua ba điểm A, B, C.
8. qua hai điểm A,B và vuông góc với mp (Q)
9. qua A và qua D'
10. qua các hình chiếu của A trên các trục tọa độ
11. qua A và vuông góc với hai mp (Q) và ( R )
12. qua A và qua giao tuyến của hai mp (Q) và ( R )
13. chứa D và song song với D’
14. chứa đường thẳng D và vuông góc với D’
15. chứa đường thẳng D và vuông góc với mp (Q)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngôctử: 27-06-2005 - 23:21

[ngôctử]

Hướng dẫn

1. .
điểm nằm trên D: chẵng hạn M = (-1;0;2), điểm nằm trên D’: chẵng hạn M’ = (2;1;5)
2. (P) có vtpt là là vectơ đơn vị của Oy: (0;1;0)
3. chứa Ox => có vtcp = (1;0;0), qua gốc tọa độ O
=> có thêm một vtcp là
=> (P) qua A, có vtpt là
4. có vtpt là
5. có vtpt là vtpt của (Q)
6. qua trung điểm của AB, và có vtpt là
7. qua A, có hai vtcp là
=> có vtpt là
8. qua A, có hai vtcp là (n_1: vtpt của (Q)) . => vtpt
9. qua A, có hai vtcp là
hoặc: vuông góc với (P) và (Q)
=> (P) vuông góc với giao tuyến của nó (chính là đường thẳng D)
=> có vtpt là vtcp của D: (-1;2;1)
10. hình chiếu của A(1;2;3) trên Ox, Oy, Oz lần lượt là (1;0;0), (0;2;0), (0;0;3).
Phương trinh đoạn chắn
11. có hai vtcp là và với M’= (2;1;5)
12. (P) thuộc chùm m(x-y+z-1) + n(x+2y-z+3) = 0. (P) qua A nên thế tọa độ của A vào pt của (P) => m + 5n = 0. Chọn n = -1 => m = 5
13. (P) có phương trinh như trên (câu 12) => có vtpt = (m+n; 2n-m; m-n)
(P) // D’ => vtpt của (P) vuông góc với vtcp của D’ <=> tích của chúng bàng 0
=> 2n-m = 0
14. (P) vuông góc với D’ => vtpt của (P) cùng phương với vtcp của D’.
(vtpt của (P): tính ở câu trên)
15. (P) vuông góc với (Q) nên hai vtpt của chúng cũng vuông góc
<=> tích của chúng bằng 0. Từ đó tính được m, n.

[ngôctử]

2. Viết phương trình đưòng thẳng d

1) Đường thẳng d qua điểm , có vtcp = (a;b;c) có
phương trinh tham số là:

phương trinh chính tắc là:

()
Nhận xét: để viết pt đường thẳng d ta tìm môt điểm thuộc d và vtcp của nó.


Một số ví dụ về cách tìm vtcp của d :
1) d qua hai điểm A,B=> d có vtcp là (và đi qua A)
2) d vuông góc với mp(P) => d có vtcp là vtpt của (P)
3) d // L => d có vtcp là vtcp của đường thẳng L.
4) d vuông góc với => d vuông góc với hai vtcp của hai đường thẳng => d có vtcp là tích có hướng của hai vtcp ấy.
5) d vuông góc với L và d // mp(P) => d vuông góc với vtcp của L và d cũng vuông góc với vtpt của (P) => d có vtcp là tích có hướng của hai vectơ ấy

2) Đường thẳng d còn có thể xem là giao tuyến của hai mp , do đó để xác định d ta xác định hai mp P,Q chứa nó (khi đó ta được phương trinh tổng quát của d), bài toán qui về việc xác định mặt phẳng ta (là bài toán 1 ở trên)

[ngôctử]

Bài tập 2

Trong hệ trực chuẫn Oxyz cho các điểm A(1;2;3), B(0;-1;1), C(1;1;0),
đường thẳng D:
và D’: (t thuộc R)

1. Viết PT chính tắc của D, PT tổng quát của D’
2. Viết phương trinh đường thẳng d qua hai điểm A, B (cả ba dạng)
3. Viết phương trinh đường thẳng d qua A và song song với đường thẳng D
4. Viết PT hình chiếu vuông góc cuả D
a) trên các mp tọa độ.
b) trên mp (P): x+y+z-2 = 0
5. Viết PT đường thẳng d qua A và vuông góc với mp (P): x+y+z-2 = 0
6. Viết PT đường thẳng d qua A và vuông góc với hai đường thẳng D, D’
7. Viết PT đường thẳng d cắt hai đường thẳng D, D’
và song song với L:
8. Viết PT đường thẳng qua A và cắt D, D’
9. Viết PT đường thẳng d nằm trong mp (P): x+2y = 0 và cắt D, D’
10. D và D’ là hai đường thẳng chéo nhau.
Viết PT đường thẳng vuông góc chung của chúng.
11. Viết pt đường thẳng qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mp(ABC)
12. Viết PT đường thẳng d vuông góc với mp(P): x+y+z=1 và cắt hai đường thẳng D, D’
13. Viết PT đường thẳng d qua A và vuông góc với hai đường thẳng D và D’
14. Viết PT đường thẳng d qua A, vuông góc với D và cắt D’
15. Tìm tập hợp các điểm trong không gian cách đều ba điểm A, B, C.

[ngôctử]

Hướng dẫn
1. a) PT chính tắc của D: cho x = t, gải hệ (y,z) theo t => y = -2t – 2; z = -3t – 1.
b) PT tổng quát của D’: Từ pt tham số =>
<=>
2. d qua A, có một vtcp là
3. d có vtcp là vtcp của D: (1;-2;-3)
4. a) d là hc vg của D trên mp(Oxy) => d là giao của mp(Oxy) và mp(Q) với (Q) là mp chứa D, vuông góc với (Oxy) => (Q): 2x-y-3= 0.
Tương tự với hc vg của D trên các mp tọa độ khác. Xem thêm: Bài tập 6.6 SBT trg 77
b) d là hc vg của D trên mp(P) => d là giao của mp(P) và mp(Q) với (Q) là mp chứa D, vuông góc với (P).
( Cách xác định mp(Q): bài 1.15 trên. Xem thêm: bài tập 6.7 SBT )
5. d qua A, có vtcp là (1;1;1) (vtpt của (P))
6. d qua A, có vtcp là tích có hướng của hai vtcp của D và D’.
( Xem thêm bài tập 6.8 SBT )
7. d là giao của hai mp: (P) qua D, song song với L;và (Q) qua D’, song song với L
Cách xác định mp(P), (Q): bài tập 1.13 trên
8. d là giao của hai mp: (P) qua A, chứa D và (Q) qua A, chứa D’ ( bài tập 1.9 trên )
9. d là đường thẳng qua hai điểm M ( là giao của D và mp(P) ) và N ( là giao của D’ và mp(P) )
10. d là giao của hai mp (P) [ chứa d và D ] và (Q) [ chứa d và D’ ]
là vtcp lần lượt của D, D’ và d thì
.
Xác định (P): qua M(0;-2;-1) thuộc D, có hai vtcp là nên có một vtpt là
Xác định (Q) tương tự
11. d qua G (trọng tâm của tam giác ABC) và có vtcp là vtpt của mp(ABC): []
12. d là giao của mp (Q): chứa D, vuông góc với (P) và mp ( R ): chứa D’, vuông góc với (P)
( Cách xác định (Q), ( R ): bài tập 1.15 trên )
13. d là giao của mp (Q): qua A, vuông góc với D và mp( R ): qua A, vuông góc với D’.
( bài tập 1.4 trên )
14. d là giao của mp (Q): qua A, vuông góc với D và mp( R ): qua A, chứa D’.
( Xác định (Q): bài tập 1.4, xác định ( R ): bài tập 1.9 trên )
Cách khác:
- xác định mp (Q) như trên
- xác định giao điểm B của đường thẳng D’ với mp(Q)
- d là đường thẳng qua hai điểm A, B.
15. M(x;y;z) cách đều A, B, C <=> MA = MB = MC <=> .