Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi Chọn đội tuyển KHTN (vòng 1)


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 24 trả lời

#21
hungvuong

hungvuong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết

Bài 4 có vẻ khó xơi nhất.
2. Không mất tính tổng quát, giả sử $x \leq y \leq z$. Khi đó: $z = tx^{2}y^{2} - \dfrac{x^{3} + y^{3}}{x^{2}} \geq tx^{2}y^{2} - (x + y)$
Ta có: $(x^{3} + y^{3}) \vdots z^{2}$ nên $x^{3} + y^{3} \geq z^{2} \geq (tx^{2}y^{2} - (x + y))^{2} \Rightarrow t^{2}x^{4}y^{4} < 2tx^{2}y^{2}(x + y) + x^{3} + y^{3} \Leftrightarrow txy < (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) + \dfrac{1}{tx^{3}} + \dfrac{1}{ty^{3}}$
Nếu $x \geq 2$ thì do $y \geq z$, vế trái $\geq 4$, trong khi vế phải $ \leq 3 \Rightarrow x= 1$.
Thay $x = 1$ vào, ta có: $ty < 2 + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{ty^{3}} \Rightarrow y \leq 3$
Mà $x^{3} + y^{3} = 1 + y^{3} \vdots z^{2}$ và $z \geq y$ nên: $y = 1 \Rightarrow z = 1 ; y = 2 \Rightarrow z = 3 ; y = 3$ (không tồn tại $z$).
Vậy $t = 3$ pt có nghiệm $(1,1,1)$, $t = 1$ pt có nghiệm $(1,2,3)$

Đề thi QG 2001,giống như đề thi của Liên xô

#22
hungvuong

hungvuong

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 21 Bài viết

Bài 4 có vẻ khó xơi nhất.
2. Không mất tính tổng quát, giả sử $x \leq y \leq z$. Khi đó: $z = tx^{2}y^{2} - \dfrac{x^{3} + y^{3}}{x^{2}} \geq tx^{2}y^{2} - (x + y)$
Ta có: $(x^{3} + y^{3}) \vdots z^{2}$ nên $x^{3} + y^{3} \geq z^{2} \geq (tx^{2}y^{2} - (x + y))^{2} \Rightarrow t^{2}x^{4}y^{4} < 2tx^{2}y^{2}(x + y) + x^{3} + y^{3} \Leftrightarrow txy < (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) + \dfrac{1}{tx^{3}} + \dfrac{1}{ty^{3}}$
Nếu $x \geq 2$ thì do $y \geq z$, vế trái $\geq 4$, trong khi vế phải $ \leq 3 \Rightarrow x= 1$.
Thay $x = 1$ vào, ta có: $ty < 2 + \dfrac{2}{y} + \dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{ty^{3}} \Rightarrow y \leq 3$
Mà $x^{3} + y^{3} = 1 + y^{3} \vdots z^{2}$ và $z \geq y$ nên: $y = 1 \Rightarrow z = 1 ; y = 2 \Rightarrow z = 3 ; y = 3$ (không tồn tại $z$).
Vậy $t = 3$ pt có nghiệm $(1,1,1)$, $t = 1$ pt có nghiệm $(1,2,3)$

Đề thi QG 2001,giống như đề thi của Liên xô

#23
dinhthanhhung

dinhthanhhung

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 111 Bài viết

Bài 3 vòng 1 :

Để cho tiện , em kí hiệu $\overrightarrow{GA}=vGA$

Ta có :$vGA1=\frac{p-c}{a}vGB+\frac{p-a}{c}vGC$ và $vGA2=\frac{p-b}{a}vGB+\frac{p-a}{c}vGC$

Tương tự rồi cộng lại được : $3(vGG1+vGG2)=(vGA1+vGB1+vGC1)+(vGA2+vGB2+vGC2)=2(vGA+vGB+vGC)=v0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhthanhhung: 28-12-2013 - 22:34


#24
Zeref

Zeref

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 458 Bài viết

 

Bài 4:
Tìm tất cả các hàm số $f: R \rightarrow R$ thỏa mãn
$ f(x^2) = f^2(x)$ và $f(x + 1) = f(x) + 1$

 

Bài 4 vẫn chưa có lời giải ?



#25
YoLo

YoLo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 223 Bài viết

Bài 4 vẫn chưa có lời giải ?

Không biết mình làm thử đứng hay sai mn góp ý

Theo quy nạp $f(x+n)=f(x)+n\forall x$ n nguyên

có $f(x+x^{2}-x)=f(x)+x^{2}-x\forall x$ nguyên

=> $f(x^{2})=f(x)+x^{2}-x\forall x$ nguyên

=> $f(x)^{2}-f(x)=x^{2}-x$ nguyên

=> $f(x)=x\forall x$ nguyên  hoặc $f(x)=1-x\forall x$ nguyên ($f(x)=$ cả $2$ thì dễ dàng cm vô lý

$f(x)=1-x\forall x$ nguyên loại

=>$f(x)=x\forall x$ nguyên


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi YoLo: 11-06-2018 - 00:06

Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi :closedeyes:





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh