* Trường hợp tồn tại một trong hai cặp $\left( A'B,B'C \right)$ hay $\left( AB',BC' \right)$ không song song, không giảm tính tổng quát ta có thể giả sử
$A'B\cap B'C=P$
Gọi $M=A'B\cap AC'$ , $N=B'C\cap AC'$, ta có hình vẽ sau
Để chứng minh $\alpha ,\beta ,\gamma$ thẳng hàng (bằng định lí Menelaus)
ta cố chứng minh đẳng thức sau
$\dfrac{\overline{\alpha N}}{\overline{\alpha P}}\cdot \dfrac{\overline{\gamma P}}{\overline{\gamma M}}\cdot \dfrac{\overline{\beta M}}{\overline{\beta N}}=1\qquad \left( * \right)$ .
Để làm điều đó ta lần lượt tìm hiểu các mối liên hệ có chứa các tỉ số $\dfrac{\overline{\alpha N}}{\overline{\alpha P}}$ , $\dfrac{\overline{\gamma P}}{\overline{\gamma M}}$ , $\dfrac{\overline{\beta M}}{\overline{\beta N}}$ .
Xét $\Delta MNP$ và cát tuyến $B\alpha C'$ , áp dụng định lý Menelaus ta có:
$\dfrac{\overline{\alpha N}}{\overline{\alpha P}}\cdot \dfrac{\overline{BP}}{\overline{BM}}\cdot \dfrac{\overline{{C}'M}}{\overline{{C}'N}}=1\qquad \qquad \qquad \left( 1 \right)$
Xét $\Delta MNP$ và cát tuyến $A\gamma B'$ , áp dụng định lý Menelaus ta có:
$\dfrac{\overline{\gamma P}}{\overline{\gamma M}}\cdot \dfrac{\overline{AM}}{\overline{AN}}\cdot \dfrac{\overline{B'N}}{\overline{B'P}}=1\qquad \qquad \qquad \left( 2 \right)$
Xét $\Delta MNP$ và cát tuyến $C\beta A'$ , áp dụng định lý Menelaus ta có:
$\dfrac{\overline{\beta M}}{\overline{\beta N}}\cdot \dfrac{\overline{CN}}{\overline{CP}}\cdot \dfrac{\overline{A'P}}{\overline{A'M}}=1\qquad \qquad \qquad \left( 3 \right)$
<< Dừng lại một tí và để ý rằng để đạt được đẳng thức $\left( * \right)$ ta cần phải có
$\dfrac{\overline{BP}}{\overline{BM}}\cdot \dfrac{\overline{AM}}{\overline{AN}}\cdot \dfrac{\overline{CN}}{\overline{CP}}\cdot \dfrac{\overline{{C}'M}}{\overline{{C}'N}}\cdot \dfrac{\overline{B'N}}{\overline{B'P}}\cdot \dfrac{\overline{A'P}}{\overline{A'M}}=1$ . Điều đó hướng ta đến việc >>
Xét $\Delta MNP$ và cát tuyến $ABC$ , áp dụng định lý Menelaus ta có:
$\dfrac{\overline{AM}}{\overline{AN}}\cdot \dfrac{\overline{BP}}{\overline{BM}}\cdot \dfrac{\overline{CN}}{\overline{CP}}=1\qquad \qquad \qquad \left( 4 \right)$
Xét $\Delta MNP$ và cát tuyến $A'B'C'$ , áp dụng định lý Menelaus ta có:
$\dfrac{\overline{{C}'M}}{\overline{{C}'N}}\cdot \dfrac{\overline{B'N}}{\overline{B'P}}\cdot \dfrac{\overline{A'P}}{\overline{A'M}}=1\qquad \qquad \qquad \left( 5 \right)$
Nhân lần lược các đẳng thức $\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right)\left( 4 \right)\left( 5 \right)$ vế theo vế, ta suy ra được đẳng thức $\left( * \right)$ , và theo định lý Menelaus thì $\alpha ,\beta ,\gamma$ thẳng hàng.
* Trường hợp $A'B\parallel B'C$ và $AB'\parallel BC'$
