Chủ đề này có 25 trả lời

[thuleter]

Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn abc+a+c=b. Tìm Mã
$P = \dfrac{2}{{a^2 + 1}} - \dfrac{2}{{b^2 + 1}} + \dfrac{3}{{c^2 + 1}}$
Xin giúp em, gấp lắm rồi

[cuongpro]

e hem de ban nay bia lam ban thu cho minh xem dau bang xay ra khi nao ko ah??

[vanthien_tanphu]

Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn abc+a+c=b. Tìm Mã
$P = \dfrac{2}{{a^2 + 1}} - \dfrac{2}{{b^2 + 1}} + \dfrac{3}{{c^2 + 1}}$
Xin giúp em, gấp lắm rồi

Từ giả thiết ta có a + (-b) + c = a(-b)c
Đặt a = tanA, -b = tanB, c = tanC thì ta có A, B, C là ba góc một tam giác, trong đó B là góc tù.
khi đó $P = 2cos^2A - 2cos^2B + 3cos^2C = cos2A - cos2B + 3cos^2C\\ $
$\qquad P = 2sin(B-A)sin(B+A) + 3 - 3sin^2C$
Hay $P = -3sin^2C + 2\sqrt{3}sinC.sin(B-A) - sin^2(B-A) + 3 + sin^2(B-A)$
$ P = 3 + sin^2(B-A) - \left(\sqrt{3}sinC - sin(B-A)\right)^2$
Vậy MaxP = 4, Xảy ra khi $ A - B = 90^0, C = arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$
Tức là $B = 135^0 - \dfrac{arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)}{2}$
$ A = 45^0 - \dfrac{arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)}{2}, C = arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$
Rồi từ đây ta tính ra a = tanA, b = tanB, c = tanC.
Có thể bài này làm bằng biếb đổi đại số cũng được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanthien_tanphu: 27-10-2009 - 21:49

[nguyễn duy thanh]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyễn duy thanh: 05-11-2009 - 17:00

[Ho pham thieu]

Ngoài cách quy về lượng giác (nhiều sách đã có) thì có cách nào khác không dùng đến lượng không nhỉ ??

[nguyễn duy thanh]

:clap Có bài toán này nhờ các bạn gúp đỡ nè
Co a,b,c 0 t/m a+b +c = 3 cmr :
a^{2}/(1+ b^{2}) + b^{2} / (1+c^{2} ) + c^{2} /(1+a^{2} ) 3/2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyễn duy thanh: 05-11-2009 - 17:00

[nguyen_ct]

nếu đã có hướng giải rồi thì còn thắc mác gì nữa !

[Pirates]

:clap Có bài toán này nhờ các bạn gúp đỡ nè
Co a,b,c 0 t/m a+b +c = 3 cmr :
a^{2}/(1+ b^{2}) + b^{2} / (1+c^{2} ) + c^{2} /(1+a^{2} ) 3/2
các pạn thử dùng cosy ngược dấu xem

Biết là dùng Côsi ngược dấu rồi mà còn nhờ giúp nữa hả...
Ta có: $\dfrac{a}{1 + b^{2}} = a - \dfrac{ab^{2}}{1 + b^{2}} \geq a - \dfrac{ab^{2}}{2b} = a - \dfrac{ab}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{a}{1 + b^{2}} + \dfrac{b}{1+ c^{2}} + \dfrac{1}{a^{2}} \geq a + b +c - \dfrac{ab + bc + ca}{2} \geq \dfrac{3}{2}$

[nguyễn duy thanh]

Biết là dùng Côsi ngược dấu rồi mà còn nhờ giúp nữa hả...
Ta có: $\dfrac{a}{1 + b^{2}} = a - \dfrac{ab^{2}}{1 + b^{2}} \geq a - \dfrac{ab^{2}}{2b} = a - \dfrac{ab}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{a}{1 + b^{2}} + \dfrac{b}{1+ c^{2}} + \dfrac{1}{a^{2}} \geq a + b +c - \dfrac{ab + bc + ca}{2} \geq \dfrac{3}{2}$

ạc
ông làm sai đề rồi kìa
tử phải là a^2 chu"

[nguyễn duy thanh]

Biết là dùng Côsi ngược dấu rồi mà còn nhờ giúp nữa hả...
Ta có: $\dfrac{a}{1 + b^{2}} = a - \dfrac{ab^{2}}{1 + b^{2}} \geq a - \dfrac{ab^{2}}{2b} = a - \dfrac{ab}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{a}{1 + b^{2}} + \dfrac{b}{1+ c^{2}} + \dfrac{1}{a^{2}} \geq a + b +c - \dfrac{ab + bc + ca}{2} \geq \dfrac{3}{2}$

mình làm thử rồi nhưng ko ra hjx :cry

[leviethai1994]

mình làm thử rồi nhưng ko ra hjx :cry

$ \dfrac{a^2}{1+b^2} = a^2 - \dfrac{a^2b^2}{1+b^2} \geq a^2 - \dfrac{a^2b^2}{2b} = a^2 - \dfrac{a^2b}{2} $
Làm tương tự rồi cộng lại

Ta cần chứng minh
$ a^2+b^2+c^2 - \dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{2} \geq \dfrac{3}{2} $

Đến đây ta chứng minh

$ \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2} \geq \dfrac{3}{2} $ (cái này dễ rồi ha)

$ \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{2} \geq \dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{2} (1)$

$(1) $ $(a^2+b^2+c^2)(a+b+c) - 3(a^2b+b^2c+c^2a) \geq 0 $ , công việc còn lại của bạn chỉ là khai triển ra rồi áp dụng AM-GM là xong, bạn thử làm nhé.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leviethai1994: 02-11-2009 - 19:17

[nguyễn duy thanh]

$ \dfrac{a^2}{1+b^2} = a^2 - \dfrac{a^2b^2}{1+b^2} \geq a^2 - \dfrac{a^2b^2}{2b} = a^2 - \dfrac{a^2b}{2} $
Làm tương tự r�#8220;i cộng lại

Ta cần chứng minh
$ a^2+b^2+c^2 - \dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{2} \geq \dfrac{3}{2} $

Đến đây ta chứng minh

$ \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2} \geq \dfrac{3}{2} $ (cái này dễ r�#8220;i ha)

$ \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{2} \geq \dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{2} (1)$

$(1) $ $(a^2+b^2+c^2)(a+b+c) - 3(a^2b+b^2c+c^2a) \geq 0 $ , công việc còn lại của bạn chỉ là khai triển ra r�#8220;i áp dụng AM-GM là xong, bạn thử làm nhé.

Kông đơn giản nư vậy đâu có chỗ sai đấy bạn xem lại đi cái $ \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{2} phải nhỏ hơn chứ nhỉ....\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{2} (1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyễn duy thanh: 06-11-2009 - 17:11

[nguyễn duy thanh]

Bài này Schwarz cái là ra thôi mà
$ \sum \dfrac{a^2}{1+b^2}= \sum \dfrac{a^4}{a^2+a^2b^2} \geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}$
ta dễ dàng có 2 kết quả sau:
$ a^2+b^2+c^2 \leq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}$
$ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \leq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}$
Suy ra đpcm!

Hay Cách này không phải dùng cosy ngược dấu

[nguyễn duy thanh]

Bài này Schwarz cái là ra thôi mà
$ \sum \dfrac{a^2}{1+b^2}= \sum \dfrac{a^4}{a^2+a^2b^2} \geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a^2+b^2+c^2)+(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)}$
ta dễ dàng có 2 kết quả sau:
$ a^2+b^2+c^2 \leq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}$
$ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \leq \dfrac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}$
Suy ra đpcm!

Có bài mới đây nhìn đơn giản nhưng hơi vất vã đấy
Cho a,b 0 t/m : a^2 +ab + b^2 2
tìm GTNN của a^2 - ab +b^2

[nguyễn duy thanh]

thế còn bài này thì sao:
Giải PT :
1999^{x} + 2001^{x} = 2. 2000^{x}
Không có hướng giải Bực thật
có aj làm giúp mình với

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyễn duy thanh: 07-11-2009 - 13:30

[nguyễn duy thanh]

Với x như thế nào vậy? dương, âm hay nguyên dương?Nếu x nguyên dương thì ta có thể xét x=0 rồi với x nguyên dương ta có bđt$ \dfrac{a^x+b^x}{2} \geq (\dfrac{a+b}{2})^x$

không có đk của x thế có làm dc ko

[leviethai1994]

Kông đơn giản nư vậy đâu có chỗ sai đấy bạn xem lại đi cái $ \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{2} phải nhỏ hơn chứ nhỉ....\dfrac{a^2b+b^2c+c^2a}{2} (1)$

$a^2+b^2+c^2- a^2b+b^2c+c^2a \geq 0 $
$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-3(a^2b+b^2c+c^2a) \geq 0$ (vì a+b+c = 3)
$(a^3 + ab^2 - 2a^2b)+(b^3+b^2c-2bc^2)+(c^3+ca^2-2c^2a) \geq 0 $( khai triển rồi nhóm lại)
$a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2 \geq 0$

[tuan101293]

Với x như thế nào vậy? dương, âm hay nguyên dương?Nếu x nguyên dương thì ta có thể xét x=0 rồi với x nguyên dương ta có bđt$ \dfrac{a^x+b^x}{2} \geq (\dfrac{a+b}{2})^x$

với x>1 hoặc x<0 ta có $\dfrac{a^x+b^x}{2}\ge (\dfrac{a+b}{2})^x$
vơi 0<x<1 ta có $\dfrac{a^x+b^x}{2}\le (\dfrac{a+b}{2})^x$
với x=0,1 ta có đẳng thức

[nguyễn duy thanh]

Bài này chỉ cần phân tích 1 chút là ôk thôi!
$ 3(a^2-ab+b^2)=a^2+ab+b^2+2(a-b)^2, a^2-ab+b^2=3(a^2+ab+b^2)-2(a+b)^2$
GTNN thấy ngay là $ \dfrac{2}{3}$
còn nếu a,b là các số thực thì GTLN là 6, nếu $ a,b \geq 0$ thì GTLN là 2!

Sặc (a-b)^2 # (a+b)^2 mà

File gửi kèm

•  untitled.bmp   150.06K   86 Số lần tải

[nguyễn duy thanh]

Vậy có ai làm BĐT logarit ko vào làm thử nè
1998^{x} / 2001^{y} + 2000^{x} / 1997^{y} 1998^{x-y} + 2000^{x-y}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyễn duy thanh: 12-11-2009 - 11:09