7/Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3.Cm rằng
$\[ \dfrac {1}{1+a^{2}(b+c)}+\dfrac {1}{1+b^{2}(c+a)}+\dfrac {1}{1+c^{2}(a+b) }\leq\dfrac {3}{1+2abc}. \]$
MathLinks Contest Edition 7 round 3
Làm nốt bài rồii bố chí đi ngủ thôi...hic...3h ùi...
Bài này mạnh hơn bài Problem 14 trong tuyển tập năm 2008.
$\dfrac {1}{1+a^{2}(b+c)}+\dfrac {1}{1+b^{2}(c+a)}+\dfrac {1}{1+c^{2}(a+b) }\leq\dfrac {3}{1+2abc}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
$\sum_{a,b,c}\dfrac {{a}^{2}\left( b+c\right)}{1+a^{2}(b+c)}\geq \dfrac{{\left( \sum_{a,b,c}a\left( b+c\right)\right)}^{2}}{\sum_{a,b,c}\left( b+c\right)\left(1+a^{2}(b+c)\right)}=\dfrac{36}{ \sum_{a,b,c}\left( b+c\right)\left(1+a^{2}(b+c)\right)}$ (chú ý:$ab+bc+ca=3$)
Ta có:$\sum_{a,b,c}\left( b+c\right)\left(1+a^{2}(b+c)\right)=2\left( a+b+c\right)+\sum_{a,b,c}{\left( ab+ac \right)}^{2}=\sum_{a,b,c}\left( {a}^{2}{b}^{2}+{a}^{2}{c}^{2}+2{a}^{2}bc\right)+2 \left ( a+b+c\right)$
$=2{\left( ab+bc+ca\right)}^{2}+2\left( a+b+c\right)\left( 1-abc\right)=2\left(9+\left( a+b+c\right)\left( 1-abc\right) \right)$
Suy ra ta có:$\sum_{a,b,c}\dfrac {{a}^{2}\left( b+c\right)}{1+a^{2}(b+c)}\geq \dfrac{18}{9+\left( a+b+c\right)\left( 1-abc\right)}$
dpcm$\Leftrightarrow \sum_{a,b,c}\dfrac {{a}^{2}\left( b+c\right)}{1+a^{2}(b+c)}+\dfrac{3}{1+2abc}\geq 3$
Như vậy,ta chỉ cần chứng minh:
$\dfrac{18}{9+\left( a+b+c\right)\left( 1-abc\right)}+\dfrac{3}{1+2abc}\geq 3\Leftrightarrow \dfrac{6}{9+\left( a+b+c\right)\left( 1-abc\right)}+\dfrac{1}{1+2abc}\geq 1(*)$
Đến đây dùng $p,q,r$ có vẻ khá khả thi:D.
$
\Leftrightarrow \dfrac{6}{9+p\left( 1-r\right)}+\dfrac{1}{1+2r}\geq 1\Leftrightarrow \dfrac{6}{9+p\left( 1-r\right)}\geq \dfrac{2r}{1+2r}$
$\Leftrightarrow 6+12r\geq 18r+2pr-2{p}^{2}{r}^{2}\Leftrightarrow 3\geq \geq 3r+pr-{p}^{2}{r}^{2}\Leftrightarrow \left( r-1\right)\left( pr-3\right)\geq 0$
BĐT trên đúng vì:với mọi $p,q,r$ ta có:
${q}^{2}\geq 3pr\Rightarrow pr\leq 3$
${q}^{3}\geq 27r\Rightarrow r\leq 1$
Vậy ta có dpcm...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungdeptrai: 12-11-2009 - 11:30