Đến nội dung

Hình ảnh

Tuyển tập các bài toán BDT trong các kì thi năm 2009

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 39 trả lời

#1
vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
Xin chào mọi người,
Mình và NguyenDungTN đang hoàn thành tuyển tập BDT trong các kì thi của các nước năm 2009,nối tiếp từ Tuyển tập năm 2007 của VIF (của anh hungkhtn) và năm 2008 của mình và Dũng.Tuy nhiên,bây giờ 2 đứa mình đều rất bận việc học hành nên bây giờ muốn mọi người cùng thực hiện Tuyển tập này,để có một tác phẩm hoàn hảo cần sự nhiệt tình giúp đỡ của mọi người :delta
Trước hết các bạn hãy sưu tầm giùm mình những problem(nhớ ghi rõ xuất xứ nhé),có thể kèm theo lời giải,nếu chưa thì đưa lên và mọi người cùng thảo luận về những bài toán đó,sau đó tụi mình sẽ biên tập lại để có một tác phẩm hoàn chỉnh.
Hi vọng mọi người sẽ cố gắng hết sức !!!
Thân,
vo thanh van

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo thanh van: 05-11-2009 - 13:22

Quy ẩn giang hồ

#2
Pirates

Pirates

    Mathematics...

  • Thành viên
  • 642 Bài viết
Let $x, y, z$ be non negative numbers. Prove that:

$\dfrac{x^{2} + y^{2} + z^{2} + xy + yz + zx}{6} \leq \dfrac{x + y + z}{3}.\sqrt{\dfrac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{3}}$

(Hungary - Israel Binational 2009)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pirates: 06-11-2009 - 18:21

"God made the integers, all else is the work of men"


#3
Janienguyen

Janienguyen

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 352 Bài viết
anh hướng dẫn tụi e gõ phần này với!e với Sơn ngồi mò hoài mà k gõ đc à!)

File gửi kèm

  • File gửi kèm  Doc1.doc   221K   222 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 05-11-2009 - 18:04

Life is a highway!

#4
Janienguyen

Janienguyen

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 352 Bài viết
let $a_1 , a_2 , ... , a_n$ be positive real number such that:

$(a_1 + a_2 + ... + a_n) (\dfrac{1}{a_2} + \dfrac{1}{a_2} + ... + \dfrac{1}{a_n}) \leq (n + \dfrac{1}{2}) ^{2} $

Prove that $max(a_1, a_2, ... , a_n) \leq 4 min(a_1, a_2, ... , a_n) $.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 06-11-2009 - 17:31

Life is a highway!

#5
vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết

anh hướng dẫn tụi e gõ phần này với!e với Sơn ngồi mò hoài mà k gõ đc à!)

Em cứ gõ bài toán và lời giải lên đây như gửi bài bình thường thôi,còn việc tập hợp lại thì bọn anh sẽ làm sau.Lưu ý chút,các em ghi rõ nó là đề của nước nào luôn nhé,problem and solution viết bằng tiếng Anh thì càng tốt.
Quy ẩn giang hồ

#6
Janienguyen

Janienguyen

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 352 Bài viết
Đề thi hsg lớp 10
ĐHKHTN(28/8)
Gải sử a,b,c là 3 số thỏa mãn đk $a+b+c=1$
$ \dfrac{a}{1+ a^{2} }+ \dfrac{b}{1+ b^{2} }+ \dfrac{c}{1+ c^{2} } \leq \dfrac{9}{10} $
Bài này mình áp dụng CS dạg engel
Translate into English
Let a,b,c be real numbers such that $a+b+c=1$
Prove that
$ \dfrac{a}{1+ a^{2} }+ \dfrac{b}{1+ b^{2} }+ \dfrac{c}{1+ c^{2} } \leq \dfrac{9}{10} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 06-11-2009 - 19:12

Life is a highway!

#7
suguku

suguku

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
1/Chứng minh với mọi số thực x,y,z thì

$ x^{3}(y^{2}+z^{2})^{2}+y^{3}(z^{2}+x^{2})^{2}+z^{3}(x^{2}+y^{2})^{2}\geq xyz[xy(x+y)^{2}+yz(y+z)^{2}+zx(z+x)^{2}]. $
USA TST 2009
2/Cho x,y,z thuộc đoạn $[\dfrac{1}2;2]$ và a,b,c là hoán vị của nó.cm bất đẳng thức:

$ \dfrac{60a^{2}-1}{4xy+5z}+\dfrac{60b^{2}-1}{4yz+5x}+\dfrac{60c^{2}-1}{4zx+5y}\geq 12 $
Modolva TST day 4
3/Cho x,y,z là các số không âm.chứng minh rằng

$\[ \dfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx}{6}\le\dfrac{x+y+z}{3}\cdot\sqrt{\dfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}} \]$
Hungary-Israel Binational » 2009
4/Cho ba số dương $a,b,c$. Chứng minh $\sqrt {\dfrac{{a^3 }}{{b^3 }}} + \sqrt {\dfrac{{b^3 }}{{c^3 }}} + \sqrt {\dfrac{{c^3 }}{{a^3 }}} \ge \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$ .
CẦN THƠ TST 2009
5/ Với ba số $x,y,z$ dương ta kí hiệu $M$ là số lớn nhất trong ba số
$\ln z+\ln(\dfrac{x}{yz}+1),\ \ln\dfrac{1}{z}+\ln(xyz+1),\ \ln y+\ln(\dfrac{1}{xyz}+1)$
Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $M$ khi $x,y,z$ dương thay đổi.
ĐHSP TST 2009 (Vòng phụ)
6/ Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của tam giác:
CMR:
$\sum \sqrt{a}(\dfrac {1}{b+c-a}-\dfrac {1}{\sqrt{bc}})\geq 0$
ĐHSP TST Dự Tuyến
Các bạn nhớ ấn nút thank nhá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi suguku: 06-11-2009 - 21:13

Sông dài cuồn cuộn ra khơi ,
Anh hùng : sóng dập, cát vùi thiên thu...
Dở hay, thành bại nào đâu?
Bể dâu chớp mắt , nghoảnh đầu thành mơ !
Non xanh còn đó trơ trơ ,
Tà dương lần lửa sưởi hơ ánh hồng.
Lão tiều gặp lại ngư ông ,
Bên sông gió mát , trăng trong , kho trời.
Rượu vò lại rót khuyên mời ,
Cùng nhau lại kể chuyện thời xa xưa...
Kể ra biết mấy cho vừa?
Nói cười hỉ hả , say sưa quên đời...

#8
trungdeptrai

trungdeptrai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

2/Cho x,y,z thuộc đoạn $[\dfrac{1}2;2]$ và a,b,c là hoán vị của nó.cm bất đẳng thức:

$ \dfrac{60a^{2}-1}{4xy+5z}+\dfrac{60b^{2}-1}{4yz+5x}+\dfrac{60c^{2}-1}{4zx+5y}\geq 12 $
Modolva TST day 4

Mình sẽ bắt đầu với bài 2,mọi người tiếp tục nhé...

Vì $x,y,z$ là các số thực dương nằm trong đoạn $[\dfrac{1}2;2]$,nên ta có:
+)$\left(x-\dfrac{1}{2} \right)\left(y-2 \right)\leq 0\Leftrightarrow -2x-\dfrac{1}{2}y+xy+1\leq 0$
+)$\left(x-2 \right)\left(y-\dfrac{1}{2}\right)\leq 0\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}x-2y+xy+1\leq 0$
Suy ra:$-\dfrac{5}{2}\left( x+y\right)+2xy+2\leq 0$
$\Leftrightarrow 4xy\leq 5\left( x+y\right)-4$
$\Leftrightarrow 4xy+5z\leq 5\left( x+y+z\right)-4$
Tương tự:...
Như vậy ta chỉ cần chứng minh:
$\dfrac{6{a}^{2}-1}{5\left( x+y+z\right)-4}+\dfrac{6{b}^{2}-1}{5\left( x+y+z\right)-4}+\dfrac{6{c}^{2}-1}{5\left( x+y+z\right)-4}\geq 12$
$\Leftrightarrow 6\left({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \right)-3\geq 60\left(x+y+z \right)-48\Leftrightarrow 4\left({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \right)-4\left(x+y+z \right)+3\geq 0$
$\Leftrightarrow {\left(2x-1 \right)}^{2}+{\left(2y-1 \right)}^{2}+{\left(2z-1 \right)}^{2}\geq 0$(đúng)
Vậy ta có dpcm...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungdeptrai: 14-12-2009 - 20:28


#9
suguku

suguku

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
Tiếp tục nè:
7/Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca=3.Cm rằng
$\[ \dfrac {1}{1+a^{2}(b+c)}+\dfrac {1}{1+b^{2}(c+a)}+\dfrac {1}{1+c^{2}(a+b) }\leq\dfrac {3}{1+2abc}. \]$
MathLinks Contest Edition 7 round 3
8/Cho $a\geq b\geq c\geq d > 0$ thỏa mãn abcd=1.Cm
$\[ \dfrac {1}{1+a}+\dfrac {1}{1+b}+\dfrac {1}{1+c}\geq\dfrac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}. \]$
MathLinks Contest Edition 7 round 7
9/Cho a,b,c dương thỏa mãn a+b+c=3.cm rằng
$ \dfrac{1}{2+a^{2}+b^{2}}+\dfrac{1}{2+b^{2}+c^{2}}+\dfrac{1}{2+c^{2}+a^{2}}\leq\dfrac{3}{4} $
Iran TST 2009
10/Cho a,b,c dương .Cm rằng
$\dfrac{a-b}{b+c}+\dfrac{b-c}{c+d}+\dfrac{c-d}{d+a}+\dfrac{d-a}{a+b}\geq 0$
Croatia Memo TST 2009
11/Cho $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ là các số lớn hơn 1.Cm rằng
$\[ \dfrac{x_{1}x_{2}}{x_{3}}+\dfrac{x_{2}x_{3}}{x_{4}}+\cdots+\dfrac{x_{n}x_{1}}{x_{2}}\ge4n \]$
Indonesia TST 2009
12/Cho a,b,c,d dương thỏa mãn abcd=1 và $a+b+c+d >\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}$.cm rằng
$\[ a+b+c+d <\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{d}{c}+\dfrac{a}{d} \]$
Germany TST 1 2009
Bài này giống bài trong shortlist 2008.
13/Cho a,b,c,d >0.cm
$\[ \dfrac{(a-b)(a-c)}{a+b+c}+\dfrac{(b-c)(b-d)}{b+c+d}+\dfrac{(c-d)(c-a)}{c+d+a}+\dfrac{(d-a)(d-b)}{d+a+b}\ge 0 \]$
Germany TST 4 2009
14/Cho 0 < x,y,z < 1 và xyz = (1-x)(1-y)(1-z).cm rằng 1 trong các số sau lớn hơn hoặc bằng 1/4:
1-x)y,(1-y)z,(1-z)x

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi suguku: 07-11-2009 - 13:05

Sông dài cuồn cuộn ra khơi ,
Anh hùng : sóng dập, cát vùi thiên thu...
Dở hay, thành bại nào đâu?
Bể dâu chớp mắt , nghoảnh đầu thành mơ !
Non xanh còn đó trơ trơ ,
Tà dương lần lửa sưởi hơ ánh hồng.
Lão tiều gặp lại ngư ông ,
Bên sông gió mát , trăng trong , kho trời.
Rượu vò lại rót khuyên mời ,
Cùng nhau lại kể chuyện thời xa xưa...
Kể ra biết mấy cho vừa?
Nói cười hỉ hả , say sưa quên đời...

#10
trungdeptrai

trungdeptrai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Tiếp tục nè:
10/Cho a,b,c dương .Cm rằng
$\dfrac{a-b}{b+c}+\dfrac{b-c}{c+d}+\dfrac{c-d}{d+a}+\dfrac{d-a}{a+b}\geq 0$
Croatia Memo TST 2009

Croatia Memo TST 2009:
Ta có:
$\dfrac{a-b}{b+c}+\dfrac{b-c}{c+a}+\dfrac{c-d}{d+a}+\dfrac{d-a}{a+b}\geq 0$
$\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{b+a}{c+a}+\dfrac{c+a}{d+a}+\dfrac{d+b}{a+b}\geq 4$
Mà lại có:
$\dfrac{a+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{d+a}+\dfrac{d+b}{a+b}+\dfrac{b+a}{c+a}\geq \dfrac{4\left( a+c\right)}{a+b+c+d}+\dfrac{4\left( b+d\right)}{a+b+c+d}=4$
Vậy ta có dpcm...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungdeptrai: 02-12-2009 - 12:19


#11
trungdeptrai

trungdeptrai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
Germany TST 1 2009
Đây là cách của mình:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
$ \left ( \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{d}{a}\right) \left ( \dfrac{d}{c}+\dfrac{a}{d}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}\right)\geq {\left( \sqrt{\dfrac{ad}{bc}}+\sqrt{\dfrac{ab}{cd}}+\sqrt{\dfrac{bc}{da}}+\sqrt{\dfrac{cd}{ab}}\right)}^{2}={\left( ab+bc+cd+da \right)}^{2} (1) $
Lại có:
$a+b+c+d> \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}\geq \dfrac{{\left( a+b+c+d \right)}^{2}}{ab+bc+cd+da}\Rightarrow ab+bc+cd+da> a+b+c+d(2)$
Từ $(1),(2)$ với chú ý $a+b+c+d> \dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{d}+\dfrac{d}{a}$
Ta có dpcm...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trungdeptrai: 14-12-2009 - 20:40


#12
Janienguyen

Janienguyen

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 352 Bài viết
1/Prove that if x,y,x are real numbers,then

$ x^{3}(y^{2}+z^{2})^{2}+y^{3}(z^{2}+x^{2})^{2}+z^{3}(x^{2}+y^{2})^{2}\geq xyz[xy(x+y)^{2}+yz(y+z)^{2}+zx(z+x)^{2}]. $
USA TST 2009
2/Given real number x,y,z$ \in [\dfrac{1}2;2]$ and a,b,c are cyclic

$ \dfrac{60a^{2}-1}{4xy+5z}+\dfrac{60b^{2}-1}{4yz+5x}+\dfrac{60c^{2}-1}{4zx+5y}\geq 12 $
Modolva TST day 4
3/Let x,y,z ne non-negative real numbers.Prove that

$\[ \dfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx}{6}\le\dfrac{x+y+z}{3}\cdot\sqrt{\dfrac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3}} \]$
Hungary-Israel Binational » 2009
4/Let $a,b,c$ be positive real numbers. Prove that $\sqrt {\dfrac{{a^3 }}{{b^3 }}} + \sqrt {\dfrac{{b^3 }}{{c^3 }}} + \sqrt {\dfrac{{c^3 }}{{a^3 }}} \ge \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$ .
CẦN THƠ TST 2009
5/Pove that if $x,y,z$ are positive real numbers Let $M$is the muximun of x,y,z
$\ln z+\ln(\dfrac{x}{yz}+1),\ \ln\dfrac{1}{z}+\ln(xyz+1),\ \ln y+\ln(\dfrac{1}{xyz}+1)$Find the mniimun of $M$
ĐHSP TST 2009 (Vòng phụ)
6/ $a,b,c$ l be the side lengths of a traingle
Prove that
$\sum \sqrt{a}(\dfrac {1}{b+c-a}-\dfrac {1}{\sqrt{bc}})\geq 0$
7/Let be a,b,c be positive real number such that ab+bc+ca=3 Prove that:
$\[ \dfrac {1}{1+a^{2}(b+c)}+\dfrac {1}{1+b^{2}(c+a)}+\dfrac {1}{1+c^{2}(a+b) }\leq\dfrac {3}{1+2abc}. \]$
MathLinks Contest Edition 7 round 3
8/ Prove that if $a\geq b\geq c> 0$ such that abcd=1 , then
$\[ \dfrac {1}{1+a}+\dfrac {1}{1+b}+\dfrac {1}{1+c}\geq\dfrac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}. \]$
MathLinks Contest Edition 7 round 7
9/Let a,b,c be positive real number such that a+b+c=3,Prove that
$ \dfrac{1}{2+a^{2}+b^{2}}+\dfrac{1}{2+b^{2}+c^{2}}+\dfrac{1}{2+c^{2}+a^{2}}\leq\dfrac{3}{4} $
Iran TST 2009
10/Let a,b,c be positive real number Prove that
$\dfrac{a-b}{b+c}+\dfrac{b-c}{c+d}+\dfrac{c-d}{d+a}+\dfrac{d-a}{a+b}\geq 0$
[/quote]
e post lên đây có gì anh tổng hợp lại nhé
P/s:nếu có thể các bạn hãy post = tiếng anh nhé!_pm nếu mình dịch sai ^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 12-11-2009 - 17:19

Life is a highway!

#13
trungdeptrai

trungdeptrai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
có thể tham khảo một số BĐT 2009 ở đây:
http://ddbdt.co.cc/f...wthread.php?t=3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo thanh van: 09-11-2009 - 22:16


#14
vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
Ok,mọi người làm tốt lắm.Mình lưu ý thêm một điều là các lời giải của mình thì các bạn k cần ghi gì nhưng các lời giải các bạn sưu tầm thì phải ghi rõ tên người giải nhé!
Quy ẩn giang hồ

#15
trungdeptrai

trungdeptrai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Tiếp tục nè:
11/Cho $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$ là các số lớn hơn 1.Cm rằng
$\[ \dfrac{x_{1}x_{2}}{x_{3}}+\dfrac{x_{2}x_{3}}{x_{4}}+\cdots+\dfrac{x_{n}x_{1}}{x_{2}}\ge4n \]$
Indonesia TST 2009

Hi vọng không nhầm ở đâu đó....

File gửi kèm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo thanh van: 09-11-2009 - 22:18


#16
vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
Em check lại kĩ đi,anh nghĩ em đã nhầm.
Với $x_i=2$ thì $RHS=2n<4n=LHS$
Quy ẩn giang hồ

#17
vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
Cung cấp thêm cho mọi người 2 tuyển tập của 2 năm trước để hiểu rõ thêm nè

File gửi kèm


Quy ẩn giang hồ

#18
suguku

suguku

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 126 Bài viết
xin lỗi mọi người nhé đề bài thế này mới đúng
Let $ x_{1},x_{2},...,x_{n}$ be real numbers such that >1 for i=1,2,...,n.Prove that
$ \dfrac{x_{1}x_{2}}{x_{3}-1}+\dfrac{x_{2}x_{3}}{x_{4}-1}+\dfrac{x_{3}x_{4}}{x_{5}-1}+...+\dfrac{x_{n}x_{1}}{x_{2}-1}\ge 4n $
and determine when the equality occurs.
Indonesia TST 2009
and my solution
Áp dụng bdt AM-GM cho vế trái
$ \dfrac{x_{1}x_{2}}{x_{3}-1}+\dfrac{x_{2}x_{3}}{x_{4}-1}+\dfrac{x_{3}x_{4}}{x_{5}-1}+...+\dfrac{x_{n}x_{1}}{x_{2}-1}\ge n \sqrt[n]{ \dfrac{(x_{1}x_{2}...x_{n})^{2}}{(x_{1}-1)..(x_{n}-1)} } $
Mặt khác ta có $x_k^{2} \ge 4(x_{k}-1)$
Cho k chạy từ 1 đến n ta có điều phải cm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo thanh van: 09-11-2009 - 09:43

Sông dài cuồn cuộn ra khơi ,
Anh hùng : sóng dập, cát vùi thiên thu...
Dở hay, thành bại nào đâu?
Bể dâu chớp mắt , nghoảnh đầu thành mơ !
Non xanh còn đó trơ trơ ,
Tà dương lần lửa sưởi hơ ánh hồng.
Lão tiều gặp lại ngư ông ,
Bên sông gió mát , trăng trong , kho trời.
Rượu vò lại rót khuyên mời ,
Cùng nhau lại kể chuyện thời xa xưa...
Kể ra biết mấy cho vừa?
Nói cười hỉ hả , say sưa quên đời...

#19
trungdeptrai

trungdeptrai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Tiếp tục nè:
14/Cho 0 < x,y,z < 1 và xyz = (1-x)(1-y)(1-z).cm rằng 1 trong các số sau lớn hơn hoặc bằng 1/4:
1-x)y,(1-y)z,(1-z)x

Germany TST 4 2009
Anh Cẩn có một lời giải khá hay trong bài viết:An Inequality collection.Bài O23,mọi người tham khảo thêm...:wacko:

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo thanh van: 09-11-2009 - 22:18


#20
vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
Và đây là 2 cuốn Collection của anh Cẩn

File gửi kèm


Quy ẩn giang hồ




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh