ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NINH BÌNH NĂM HỌC 2009-2010
MÔN TOÁN - VÒNG 1
THỜI GIAN LÀM BÀI 180 PHÚT
Bài 1
a) Tìm m để đồ thị hàm số $y= x^3-3x-m$ cắt trục $Ox$ tại 3 điểm phân biệt
b) Cho a, b, c là các số thục thỏa mãn
$a<b<c$
$a+b+c=0$
$ab+bc+ac=-3$
CMR $-2<abc<2$ và $-2<a<-1<b<1<c<2$
c) Tìm các điểm trên $Oy$ kẻ đến đồ thị hàm số $y=2x+\sqrt{16x^2+4x+1} $đúng 1 tiếp tuyến
Bài 2
a) Giải hệ phương trình
$x^2=y+a$
$y^2=z+a$
$z^2=x+a$
(Trong đó $0<a<1$)
b)Từ 1 nhóm gồm 20 học sinh trường A, 25 học sinh trường B, 28 học sinh trường C có bao nhiêu cách chọn 22 học sinh sao cho mỗi trường có ít nhất 1 học sinh
Bài 3
Cho dãy $(u_n)$
$u_1=\dfrac{1}{2}$
$n_{n+1}=\dfrac{3}{2}u_n^2-\dfrac{1}{2}u_n^3$
CMR dãy $(u_n)$ có giới hạn . Tìm giới hạn đó
Bài 4
Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V, Diện tích các tam giác ABC , ABD lần lượ là $S_1, S_2$. Gọi$x$là số đo góc tạo bởi 2 mặt phẳng (ABC) và (ABD). M là 1 điểm thuộc cạnh CD sao cho khoảng cách từ M đến hai mặt phẳng (ABC) và(ABD) bằng nhau
a)CMR$ V=\dfrac{2S_1.S_2sinx}{3AB}$ và$ \dfrac{CM}{DM}=\dfrac{S_1}{S_2}$
b)Tính diện tích tam giác AMB theo $V, S_1, S_2, x$
Bài 5
Cho$ f(x): N*\rightarrow N*$
$f(xy)=f(x).f(y)$ với mọi x, y thỏa mãn (x,y)=1
$f(x+y)=f(x)+f(y) $ với x, y là các bộ số nguyên tố
Tính$ f(2), f(3), f(2009)$