Chủ đề này có 9 trả lời

[namdung]

Chào các bạn,

Tôi có bài toán này: Cho a, b, c, d > 0.

Chứng minh rằng $ (\dfrac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6})^{1/2} \ge (\dfrac{abc+abd+acd+bcd}{4})^{1/3}$

Bài này cũ như trái đất. Ta có thể giải dễ dàng bằng cách áp dụng định lý Lagrange để đưa về 3 biến.

Tuy nhiên, tôi muốn tìm lời giải mà không dùng Lagrange.

Sở dĩ có câu chuyện như vậy là vì tôi nhớ cách đây 26 năm, tôi đã giải được bài này mà không dùng Lagrange (đơn giản vì tôi ... không biết dùng!). Tự dưng muốn tìm lại lời giải đó mà không sao nhớ lại được.

Các bạn thử giúp tôi xem nhé.

[supermember]

Bài này có 1 lời giải rất đẹp chỉ dùng $AM - GM$ mà thôi ( Hero TVƠ mất toi 25$ chỉ để biết cái lời giải này T T )

Đặt vế trái của bđt là $A$ , vế phải là $B$

Đặt $ x = ab + cd ; y = ac + bd ; z = ad + bc$

Ta có : $36A^4 = (x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+zx) \Rightarrow 12A^4 \geq xy + yz + zx \ \ (2) $

Trong đó :

$ xy + yz + zx = ( a^2 bc + a^2 bd + a^2 cd ) + ( b^2 ad + b^2 ac + b^2 dc ) + ( c^2 ad + c^2 bd + c^2 ab ) $

$ + ( d^2 ab + d^2 ac + d^2 bc ) \ \ (1)$

Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ :

$A^4 + a^2 bd + b^2 ad + d^2 ab \geq 4Aabd $

Tương tự $ A^4 + a^2bc + b^2 ca + c^2 ab \geq 4Aabc $

$ A^4 + a^2 cd + c^2 ad + d^2 ac \geq 4Aacd $

Và $ A^4 + b^2 cd + c^2 bd + d^2 bc \geq 4Abcd $

Cộng $4$ bất đẳng thức trên vế theo vế , đồng thời kết hợp với $(1) \ ; \ (2)$ , ta có :

$ 16A^4 \geq 4A (abc + bcd + acd + abd) = 4A . 4B^3 = 16 AB^3 $

suy ra $ A \geq B $

[vuthanhtu_hd]

Bài này có 1 lời giải rất đẹp chỉ dùng $AM - GM$ mà thôi ( Hero TVƠ mất toi 25$ chỉ để biết cái lời giải này T T )

Đặt vế trái của bđt là $A$ , vế phải là $B$

Đặt $ x = ab + cd ; y = ac + bd ; z = ad + bc$

Ta có : $36A^4 = (x+y+z)^2 \geq 3(xy+yz+zx) \Rightarrow 12A^4 \geq xy + yz + zx \ \ (2) $

Trong đó :

$ xy + yz + zx = ( a^2 bc + a^2 bd + a^2 cd ) + ( b^2 ad + b^2 ac + b^2 dc ) + ( c^2 ad + c^2 bd + c^2 ab ) $

$ + ( d^2 ab + d^2 ac + d^2 bc ) \ \ (1)$

Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$ :

$A^4 + a^2 bd + b^2 ad + d^2 ab \geq 4Aabd $

Tương tự $ A^4 + a^2bc + b^2 ca + c^2 ab \geq 4Aabc $

$ A^4 + a^2 cd + c^2 ad + d^2 ac \geq 4Aacd $

Và $ A^4 + b^2 cd + c^2 bd + d^2 bc \geq 4Abcd $

Cộng $4$ bất đẳng thức trên vế theo vế , đồng thời kết hợp với $(1) \ ; \ (2)$ , ta có :

$ 16A^4 \geq 4A (abc + bcd + acd + abd) = 4A . 4B^3 = 16 AB^3 $

suy ra $ A \geq B $

Lời giải rất đẹp

[toanhocmuonmau]

Chào các bạn,

Tôi có bài toán này: Cho a, b, c, d > 0.

Chứng minh rằng $ (\dfrac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6})^{1/2} \ge (\dfrac{abc+abd+acd+bcd}{4})^{1/3}$

Bài này cũ như trái đất. Ta có thể giải dễ dàng bằng cách áp dụng định lý Lagrange để đưa về 3 biến.

Tuy nhiên, tôi muốn tìm lời giải mà không dùng Lagrange.

Sở dĩ có câu chuyện như vậy là vì tôi nhớ cách đây 26 năm, tôi đã giải được bài này mà không dùng Lagrange (đơn giản vì tôi ... không biết dùng!). Tự dưng muốn tìm lại lời giải đó mà không sao nhớ lại được.

Các bạn thử giúp tôi xem nhé.

Em tặng thầy: http://canhang2007.w...y-52-maclaurin/

[nguyen xuan huy]

còn nửa thưa thầy

File gửi kèm

•  B__i_254.doc   60K   195 Số lần tải

[namdung]

Cảm ơn các bạn. Tuyệt vời lắm. Các bạn nhanh thật.

Tôi sẽ đưa các lời giải này vào blog nhé.

Namdung

[kensin]

Em tặng thầy ạ

$abc+bcd+cda+dab =ac(b+d)+bd(a+c) \le \sqrt{ac}\dfrac{a+c}{2}(b+d)+\sqrt{bd}\dfrac{b+d}{2}(a+c) = \dfrac{(\sqrt{ac}+\sqrt{bd})(a+c)(b+d)}{2}$
$ab+bc+cd+da=\dfrac{(a+c)(b+d)}{2}+\dfrac{(a+c)(b+d)}{2}+(ac+bd) \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{(a+c)^2(b+d)^2(ac+bd)}{4}}$
Thay vào bđt ta cần chứng minh:
$\sqrt[3]{\dfrac{(a+c)(b+d)(\sqrt{ac}+\sqrt{bd})}{8}} \le \sqrt{\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{\dfrac{(a+c)^2(b+d)^2(ac+bd)}{4}}}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{ac}+\sqrt{bd})^2 \le 2(ac+bd)$
Điều này hiển nhiên theo bđt Cauchy-Schwarz.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kensin: 09-11-2009 - 16:01

[Toanlc_gift]

Chào các bạn,

Tôi có bài toán này: Cho a, b, c, d > 0.

Chứng minh rằng $ (\dfrac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6})^{1/2} \ge (\dfrac{abc+abd+acd+bcd}{4})^{1/3}$

Bài này cũ như trái đất. Ta có thể giải dễ dàng bằng cách áp dụng định lý Lagrange để đưa về 3 biến.

Tuy nhiên, tôi muốn tìm lời giải mà không dùng Lagrange.

Sở dĩ có câu chuyện như vậy là vì tôi nhớ cách đây 26 năm, tôi đã giải được bài này mà không dùng Lagrange (đơn giản vì tôi ... không biết dùng!). Tự dưng muốn tìm lại lời giải đó mà không sao nhớ lại được.

Các bạn thử giúp tôi xem nhé.

ở đây em đã chứng minh nó với 5 biến bằng cách sử dụng tổ hợp và khai triển Newton ^^!
http://mathscope.org...read.php?t=9341

[quangvinht2]

Có lời giải này không biết đúng không. Thầy Dũng và các bạn kiểm tra dùng. Thanks
ta có: $ abc+bcd+cda+dab=bc(a+d)+ad(b+c) \leq \dfrac{(a+d)(b+c)}{2} ( \sqrt{ad}+ \sqrt{bc}) \leq \dfrac{(ab+cd+ac+bd)}{2} \sqrt{2(ad+bc)} $
Do đó: $(abc+bcd+cda+dab)^{2} \leq 2. \dfrac{ab+cd+ac+bd}{2} . \dfrac{ab+cd+ac+bd}{2} . (ad+bc) \leq 2(\dfrac{ab+cd+ac+bd+ad+bc}{3} )^{3} $
Từ đó ra đpcm

[kingkong774]

Lời giải Thầy Nam DŨng là cách nào dzạ thầy