Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

1 bài toán


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 G94

G94

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 07-11-2009 - 20:04

Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp tam giác bán kính bằng 1.
Cho /frac{sinA}{ma} + /frac{sinB}{mb} + /frac{sinC}{mc} = ?sqrt{3}
(ma,mb,mc la 3 đường trung tuyến);
CMR: /delta ABC đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi G94: 07-11-2009 - 20:06


#2 Pirates

Pirates

    Mathematics...

  • Thành viên
  • 642 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai

Đã gửi 08-11-2009 - 09:04

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp tam giác bán kính bằng 1.
Cho: $\dfrac{sinA}{m_a} + \dfrac{sinB}{m_b} + \dfrac{sinC}{m_c} = \sqrt{3}$
$(m_a, m_b, m_c $là 3 đường trung tuyến)
CMR: $\delta ABC$ đều.

Bài này thú vị đấy.
Trước hết cần cm bổ đề:
Với mọi tam giác $ABC$, ta có: $2\sqrt{3}.a.m_a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Ta có: $2\sqrt{3}.a.m_a = (\sqrt{3}a)(2m_a) = \sqrt{3a^{2}(2b^{2} + 2c^{2} - a^{2})} \leq \dfrac{1}{2}[3a^{2} + (2b^{2} + 2c^{2} - a^{2})] = a^{2} + b^{2} + c^{2}$
Tới đây ta có thể áp dụng vào bài toán để cm: $\dfrac{sinA}{m_a} + \dfrac{sinB}{m_b} + \dfrac{sinC}{m_c} \geq \sqrt{3}$
Vì $R = 1$ nên:
$\Leftrightarrow \dfrac{a}{2m_a} + \dfrac{b}{2m_b} + \dfrac{c}{2m_c} \geq \sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \dfrac{a^{2}}{2\sqrt{3}am_a} + \dfrac{b^{2}}{2\sqrt{3}bm_b} + \dfrac{c^{2}}{2\sqrt{3}cm_c} \geq 1$
BĐT đúng vì: $\dfrac{a^{2}}{2\sqrt{3}am_a} + \dfrac{b^{2}}{2\sqrt{3}bm_b} + \dfrac{c^{2}}{2\sqrt{3}cm_c} \geq \dfrac{a^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} + \dfrac{b^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} + \dfrac{c^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} = 1$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi tam giác $ABC$ đều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pirates: 08-11-2009 - 09:06

"God made the integers, all else is the work of men"





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh