Đến nội dung

Hình ảnh

1 bài toán

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
G94

G94

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp tam giác bán kính bằng 1.
Cho /frac{sinA}{ma} + /frac{sinB}{mb} + /frac{sinC}{mc} = ?sqrt{3}
(ma,mb,mc la 3 đường trung tuyến);
CMR: /delta ABC đều

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi G94: 07-11-2009 - 20:06


#2
Pirates

Pirates

    Mathematics...

  • Thành viên
  • 642 Bài viết

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn ngoại tiếp tam giác bán kính bằng 1.
Cho: $\dfrac{sinA}{m_a} + \dfrac{sinB}{m_b} + \dfrac{sinC}{m_c} = \sqrt{3}$
$(m_a, m_b, m_c $là 3 đường trung tuyến)
CMR: $\delta ABC$ đều.

Bài này thú vị đấy.
Trước hết cần cm bổ đề:
Với mọi tam giác $ABC$, ta có: $2\sqrt{3}.a.m_a \leq a^{2} + b^{2} + c^{2}$

Ta có: $2\sqrt{3}.a.m_a = (\sqrt{3}a)(2m_a) = \sqrt{3a^{2}(2b^{2} + 2c^{2} - a^{2})} \leq \dfrac{1}{2}[3a^{2} + (2b^{2} + 2c^{2} - a^{2})] = a^{2} + b^{2} + c^{2}$
Tới đây ta có thể áp dụng vào bài toán để cm: $\dfrac{sinA}{m_a} + \dfrac{sinB}{m_b} + \dfrac{sinC}{m_c} \geq \sqrt{3}$
Vì $R = 1$ nên:
$\Leftrightarrow \dfrac{a}{2m_a} + \dfrac{b}{2m_b} + \dfrac{c}{2m_c} \geq \sqrt{3}$
$\Leftrightarrow \dfrac{a^{2}}{2\sqrt{3}am_a} + \dfrac{b^{2}}{2\sqrt{3}bm_b} + \dfrac{c^{2}}{2\sqrt{3}cm_c} \geq 1$
BĐT đúng vì: $\dfrac{a^{2}}{2\sqrt{3}am_a} + \dfrac{b^{2}}{2\sqrt{3}bm_b} + \dfrac{c^{2}}{2\sqrt{3}cm_c} \geq \dfrac{a^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} + \dfrac{b^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} + \dfrac{c^{2}}{a^{2} + b^{2} + c^{2}} = 1$
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi tam giác $ABC$ đều.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pirates: 08-11-2009 - 09:06

"God made the integers, all else is the work of men"





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh