Chủ đề này có 2 trả lời

[Pirates]

Đề kiểm tra đội tuyển chuyên SPHN năm 2009-2010

Bài 1:
a. Giải phương trình: $(x + 6)5^{1 - |x - 1|} - x= (x + 1)|5^{x} - 1| + 5^{x + 1} + 1$.
b. Với ba số $x, y, z$ dương ta kí hiệu $M$ là số lớn nhất trong ba số:
$\ \ln z + \ln(\dfrac{x}{yz} + 1), \ \ln\dfrac{1}{z} + \ln(xyz + 1), \ \ln y + \ln(\dfrac{1}{xyz} + 1)$
Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $M$ khi $x, y, z$ dương thay đổi.

Bài 2: Cho các số nguyên dương $a, b, c, d$ thỏa mãn $ac + bd$ chia hết cho $a^{2} + b^{2}$. Chứng minh rằng:
$\gcd(c^{2} + d^{2} , a^{2} + b^{2}) > 1$

Bài 3: Cho tam giác $ABC$. Dựng các điểm $X, Y$ sao cho hai tam giác $ABX, ACY$ đồng dạng ngược hướng. Dựng các điểm $T, K$ sao cho các tam giác $BXA, BTC, KXY$ đồng dạng cùng hướng. Chứng minh rằng hai tam giác $BTC$ và $KXY$ có chung tâm đường tròn ngoại tiếp.

Bài 4: Cho dãy số $\{x_n\}$ xác định bởi:
$x_1 = 3 ; \ x_{n + 1} = \dfrac{x_n^{2} + 3}{3x_n}$.
Chứng minh rằng dãy $\{x_n\}$ có giới hạn, tìm giới hạn đó.

Bài 5: Cho tập hợp $S = \{1, 2, 3, ..., n\}$. Tìm số cách chia tập $S$ thành 3 tập con khác rỗng sao cho mỗi tập con không chứa hai số nguyên liên tiếp.

[thuan192]

Đề kiểm tra đội tuyển chuyên SPHN năm 2009-2010

Bài 1:
a. Giải phương trình: $(x + 6)5^{1 - |x - 1|} - x= (x + 1)|5^{x} - 1| + 5^{x + 1} + 1$.
b. Với ba số $x, y, z$ dương ta kí hiệu $M$ là số lớn nhất trong ba số:
$\ \ln z + \ln(\dfrac{x}{yz} + 1), \ \ln\dfrac{1}{z} + \ln(xyz + 1), \ \ln y + \ln(\dfrac{1}{xyz} + 1)$
Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $M$ khi $x, y, z$ dương thay đổi.

Bài 2: Cho các số nguyên dương $a, b, c, d$ thỏa mãn $ac + bd$ chia hết cho $a^{2} + b^{2}$. Chứng minh rằng:
$\gcd(c^{2} + d^{2} , a^{2} + b^{2}) > 1$

Bài 3: Cho tam giác $ABC$. Dựng các điểm $X, Y$ sao cho hai tam giác $ABX, ACY$ đồng dạng ngược hướng. Dựng các điểm $T, K$ sao cho các tam giác $BXA, BTC, KXY$ đồng dạng cùng hướng. Chứng minh rằng hai tam giác $BTC$ và $KXY$ có chung tâm đường tròn ngoại tiếp.

Bài 4: Cho dãy số $\{x_n\}$ xác định bởi:
$x_1 = 3 ; \ x_{n + 1} = \dfrac{x_n^{2} + 3}{3x_n}$.
Chứng minh rằng dãy $\{x_n\}$ có giới hạn, tìm giới hạn đó.

Bài 5: Cho tập hợp $S = \{1, 2, 3, ..., n\}$. Tìm số cách chia tập $S$ thành 3 tập con khác rỗng sao cho mỗi tập con không chứa hai số nguyên liên tiếp.

Bài 4: Ta sẽ sử dụng bằng phương pháp sử dụng định nghĩa:

Dễ thấy mỗi phần tử của dãy đều dương và $x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2}+3}{3x_{n}}\geq \frac{2\sqrt{3}}{3}> 1$

nên $x_{n}>1$ với $n\geq 1$. Giả sử $\lim_{n\rightarrow \infty }(x_{n})=a$ đưa về giới hạn ta tìm được $a=\sqrt{\frac{3}{2}}$

Ta sẽ chứng minh a là giới hạn của dãy.Thật vậy ta có:

  $\left | x_{n+1}-a \right |=\left | \frac{x_{n}^{2}+3}{3x_{n}}-\frac{a^{2}+3}{3a} \right |=\frac{\left | x_{n}-a \right |\left | ax_{n}-3 \right |}{\left | 3ax_{n} \right |}$

 Do $\frac{\left | ax_{n}-3 \right |}{\left | 3ax_{n} \right |}< \frac{1}{2}$ nên ta suy ra:

$\left | x_{n}-a \right |< \frac{\left | x_{n}-2 \right |}{2}< ...< \frac{\left | x_{1}-a \right |}{2^{n}}$

Vì $\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\left |x_{1}-a \right |}{2^{n}}=0$ nên lim$x_{n}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$

[Rias Gremory]

Đề kiểm tra đội tuyển chuyên SPHN năm 2009-2010

Bài 2: Cho các số nguyên dương $a, b, c, d$ thỏa mãn $ac + bd$ chia hết cho $a^{2} + b^{2}$. Chứng minh rằng:
$\gcd(c^{2} + d^{2} , a^{2} + b^{2}) > 1$

 

Lời giải :

\[
\left( {ac + bd} \right)^2 + \left( {ad - bc} \right)^2 = \left( {a^2 + b^2 } \right)\left( {c^2 + d^2 } \right),\left( 1 \right)
\]
Giả sử $(a^2+b^2;c^2+d^2)=1,(*)$. Ta có:
TH1: $a^2+b^2$ không là số chính phương. Suy ra, tồn tại ước nguyên tố $p$ có số mũ là $2k+1$ với $k \in \mathbb{N}$
\[
\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Rightarrow \left( {ad - bc} \right)^2 \vdots a^2 + b^2 \vdots p^{2k + 1} \Rightarrow \left( {ad - bc} \right)^2 \vdots p^{2k + 2} \\
ac + bd \vdots a^2 + b^2 \vdots p^{2k + 1} \Rightarrow \left( {ac + bd} \right)^2 \vdots p^{4k + 2} \vdots p^{2k + 2} \\
\left. \begin{array}{l}
VT\left( 1 \right) \vdots p^{2k + 2} \Rightarrow p^{2k + 2} |\left( {a^2 + b^2 } \right)\left( {c^2 + d^2 } \right) \\
\left( * \right) \Rightarrow \left( {p;c^2 + d^2 } \right) = 1 \Rightarrow \left( {p^{2k + 2} ;c^2 + d^2 } \right) = 1 \\
\end{array} \right\} \Rightarrow p^{2k + 2} |a^2 + b^2 :False \\
\end{array}
\]
TH2: $a^2+b^2=t^2$ với $t \in \mathbb{N}^*$
\[
\begin{array}{l}
ac + bd \vdots t^2 \Rightarrow ac + bd = t^2 x,\left( {x \in N^* } \right) \\
\left( 1 \right) \Rightarrow \left( {ad - bc} \right)^2 \vdots t^2 \Rightarrow ad - bc \vdots t \Rightarrow ad - bc = ty,\left( {y \in N^* } \right) \\
\left\{ \begin{array}{l}
ac + bd = t^2 x \\
ad - bc = ty \\
\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {ac + bd} \right) - c\left( {ad - bc} \right) = dt^2 x - cty \\
\left. \begin{array}{l}
\Rightarrow b\left( {c^2 + d^2 } \right) = t\left( {dtx - cy} \right) \Rightarrow t|b\left( {c^2 + d^2 } \right) \\
\left( {c^2 + d^2 ;t^2 } \right) = 1 \Rightarrow \left( {c^2 + d^2 ;t} \right) = 1 \\
\end{array} \right\} \Rightarrow t|b \\
\Rightarrow b \ge t = \sqrt {a^2 + b^2 } > \sqrt {b^2 } = b:False \\
\end{array}
\]
Trong cả 2 TH đều dẫn ra điều vô lý. Vậy $(*)$ sai hay ta có đpcm.