Chủ đề này có 5 trả lời

[QUANVU]

Tìm các giá trị của tham số $m$ sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{matrix} x^2+3xz+z^2=1 \\ 3y^2+3yz+z^2=4 \\ x^2-xy+y^2=m \end{matrix}\right.$$

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 20/12 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 14-02-2013 - 20:42

[Primary]

Tìm các giá trị của tham số $m$ sao cho hệ phương trình sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{matrix} x^2+3xz+z^2=1 (1)\\ 3y^2+3yz+z^2=4 (2) \\ x^2-xy+y^2=m (3)\end{matrix}\right.$$

Xét x=y=z=0 không phải là nghiệm của hệ
*Nếu x=0 hệ trở thành $\left\{\begin{matrix}z^2=1 & & \\ 3y^2+3yz+z^2=4 & & \\ y^2=m & & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow m=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$
*Nếu y=0 hệ trở thành $\left\{\begin{matrix}x^2+3xz+z^2=1 & & & \\ z^2=4 & & & \\ x^2=m & & & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow m=15\pm 6\sqrt{6}$
*Nếu z=0 hệ trở thành $\left\{\begin{matrix}x^2=1 & & & \\ 3y^2=4 & & & \\ x^2-xy+y^2=m & & & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow m=\frac{7\pm 2\sqrt{3}}{4}$
*Nếu x,y,z khác 0
Đặt $x=ay,x=bz\Rightarrow x=ay=bz$ $(a,b\neq 0)$
$\Rightarrow y=\frac{bz}{a},x^2=axy$ hay $y^2=\frac{b^2z^2}{a^2},xy=\frac{x^2}{a}$
$(1)\Leftrightarrow bz^2+3bz.\frac{bz}{a}+z^2=1\Leftrightarrow z^2=\frac{a}{ab^2+a+3b^2}$
$\Rightarrow y^2=\frac{b^2}{a(ab^2+a+3b^2)},x^2=\frac{a^2b^2}{ab^2+a+3b^2}$
$(2)\Leftrightarrow \frac{3b^2}{a(ab^2+a+3b^2)}+\frac{3b.a}{a(ab^2+a+3b^2)}+\frac{a}{ab^2+a+3b^2}=4$ $\Leftrightarrow 3b^2+3ab-4a^2b^2-12ab^2-3a^2=0$ (*)
Ta có $(1)\Leftrightarrow \frac{a^2b^2}{ab^2+a+3b^2}+\frac{a}{ab62+a+3b^2}+\frac{3ab^2}{ab^2+a+3b^2}=1\Leftrightarrow (ab^2-b^2)(a+3)=0\Leftrightarrow a=1\vee a=-3,(b\neq 0)$
Với a=1 thay vào (*) ta được $-13b^2+3b-3=0$ (Vô nghiệm)
Với a=-3 thay vào (*) ta được $b^2-3b-9=0\Leftrightarrow b=\frac{3\pm 3\sqrt{5}}{2}$
Khi đó $x=-3y$ và thay vào (1) ta được $z^2=1\Leftrightarrow z=\pm 1$
Nếu $b=\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$ thì:
* z=1$\Rightarrow y=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$
$(3)\Leftrightarrow m=\frac{39+13\sqrt{5}}{2}$
* z=-1$\Rightarrow y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=-\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$
$(3)\Leftrightarrow m=\frac{39+13\sqrt{5}}{2}$
Nếu $b=\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$ thì
* z=1 $\Rightarrow y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$
$(3)\Leftrightarrow \frac{39-13\sqrt{5}}{2}$
* z=-1 $\Rightarrow y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\frac{-3+3\sqrt{5}}{2}$
$(3)\Leftrightarrow m=\frac{39-13\sqrt{5}}{2}$
Thử lại m thỏa yêu cầu bài toán
Vậy $m\in \left \{ \frac{39\pm 13\sqrt{5}}{2};\frac{3\pm \sqrt{5}}{2};15\pm 6\sqrt{6};\frac{7\pm 2\sqrt{3}}{4} \right \}$ thì hệ có nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 22-12-2012 - 07:23

[Primary]

Bây giờ thấy bài giải ổn hơn 1 chút

[PSW]

Chấm điểm

Primary: 50 điểm

[rongthan]

Xét x=y=z=0 không phải là nghiệm của hệ
*Nếu x=0 hệ trở thành $\left\{\begin{matrix}z^2=1 & & \\ 3y^2+3yz+z^2=4 & & \\ y^2=m & & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow m=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$
*Nếu y=0 hệ trở thành $\left\{\begin{matrix}x^2+3xz+z^2=1 & & & \\ z^2=4 & & & \\ x^2=m & & & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow m=15\pm 6\sqrt{6}$
*Nếu z=0 hệ trở thành $\left\{\begin{matrix}x^2=1 & & & \\ 3y^2=4 & & & \\ x^2-xy+y^2=m & & & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow m=\frac{7\pm 2\sqrt{3}}{4}$
*Nếu x,y,z khác 0
Đặt $x=ay,x=bz\Rightarrow x=ay=bz$ $(a,b\neq 0)$
$\Rightarrow y=\frac{bz}{a},x^2=axy$ hay $y^2=\frac{b^2z^2}{a^2},xy=\frac{x^2}{a}$
$(1)\Leftrightarrow bz^2+3bz.\frac{bz}{a}+z^2=1\Leftrightarrow z^2=\frac{a}{ab^2+a+3b^2}$
$\Rightarrow y^2=\frac{b^2}{a(ab^2+a+3b^2)},x^2=\frac{a^2b^2}{ab^2+a+3b^2}$
$(2)\Leftrightarrow \frac{3b^2}{a(ab^2+a+3b^2)}+\frac{3b.a}{a(ab^2+a+3b^2)}+\frac{a}{ab^2+a+3b^2}=4$ $\Leftrightarrow 3b^2+3ab-4a^2b^2-12ab^2-3a^2=0$ (*)
Ta có $(1)\Leftrightarrow \frac{a^2b^2}{ab^2+a+3b^2}+\frac{a}{ab62+a+3b^2}+\frac{3ab^2}{ab^2+a+3b^2}=1\Leftrightarrow (ab^2-b^2)(a+3)=0\Leftrightarrow a=1\vee a=-3,(b\neq 0)$
Với a=1 thay vào (*) ta được $-13b^2+3b-3=0$ (Vô nghiệm)
Với a=-3 thay vào (*) ta được $b^2-3b-9=0\Leftrightarrow b=\frac{3\pm 3\sqrt{5}}{2}$
Khi đó $x=-3y$ và thay vào (1) ta được $z^2=1\Leftrightarrow z=\pm 1$
Nếu $b=\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$ thì:
* z=1$\Rightarrow y=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$
$(3)\Leftrightarrow m=\frac{39+13\sqrt{5}}{2}$
* z=-1$\Rightarrow y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=-\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$
$(3)\Leftrightarrow m=\frac{39+13\sqrt{5}}{2}$
Nếu $b=\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$ thì
* z=1 $\Rightarrow y=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\frac{3-3\sqrt{5}}{2}$
$(3)\Leftrightarrow \frac{39-13\sqrt{5}}{2}$
* z=-1 $\Rightarrow y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\Rightarrow x=\frac{-3+3\sqrt{5}}{2}$
$(3)\Leftrightarrow m=\frac{39-13\sqrt{5}}{2}$
Thử lại m thỏa yêu cầu bài toán
Vậy $m\in \left \{ \frac{39\pm 13\sqrt{5}}{2};\frac{3\pm \sqrt{5}}{2};15\pm 6\sqrt{6};\frac{7\pm 2\sqrt{3}}{4} \right \}$ thì hệ có nghiệm

Chỗ bôi đỏ mình thấy không được chính xác cho lắm. Theo mình nghĩ thì chỗ bôi xanh hoàn toàn suy ra từ $(1)$ bây giờ bạn lại thay nguyên vào $(1)$ mình nghĩ sẽ ra điều hiển nhiên mới đúng chứ?? Không tin hãy thay lại thử xem!!!