cho x,y,z thực.
cm $\dfrac{x^{2}-y^{2}}{2x^{2}+1} +\dfrac{y^{2}-z^{2}}{2y^{2}+1} +\dfrac{z^{2}-x^{2}}{2z^{2}+1} \leq 0$
bdt greek TST 2005
Bắt đầu bởi suguku, 13-11-2009 - 12:51
#1
Đã gửi 13-11-2009 - 12:51
Sông dài cuồn cuộn ra khơi ,
Anh hùng : sóng dập, cát vùi thiên thu...
Dở hay, thành bại nào đâu?
Bể dâu chớp mắt , nghoảnh đầu thành mơ !
Non xanh còn đó trơ trơ ,
Tà dương lần lửa sưởi hơ ánh hồng.
Lão tiều gặp lại ngư ông ,
Bên sông gió mát , trăng trong , kho trời.
Rượu vò lại rót khuyên mời ,
Cùng nhau lại kể chuyện thời xa xưa...
Kể ra biết mấy cho vừa?
Nói cười hỉ hả , say sưa quên đời...
Anh hùng : sóng dập, cát vùi thiên thu...
Dở hay, thành bại nào đâu?
Bể dâu chớp mắt , nghoảnh đầu thành mơ !
Non xanh còn đó trơ trơ ,
Tà dương lần lửa sưởi hơ ánh hồng.
Lão tiều gặp lại ngư ông ,
Bên sông gió mát , trăng trong , kho trời.
Rượu vò lại rót khuyên mời ,
Cùng nhau lại kể chuyện thời xa xưa...
Kể ra biết mấy cho vừa?
Nói cười hỉ hả , say sưa quên đời...
#2
Đã gửi 08-01-2010 - 17:54
cho x,y,z thực.
cm $\dfrac{x^{2}-y^{2}}{2x^{2}+1} +\dfrac{y^{2}-z^{2}}{2y^{2}+1} +\dfrac{z^{2}-x^{2}}{2z^{2}+1} \leq 0$
Ta có :
$\dfrac{x^{2}-y^{2}}{2x^{2}+1} +\dfrac{y^{2}-z^{2}}{2y^{2}+1} +\dfrac{z^{2}-x^{2}}{2z^{2}+1}=\dfrac{-4(x^4y^2+y^4z^2+z^4x^2-3x^2y^2z^2)-\sum (x^2-y^2)^2}{(2x^2+1)(2y^2+1)(2z^2+1)} \leq 0$
Hiển nhiên đúng và đó chính là điều phải chứng minh .
#3
Đã gửi 08-01-2010 - 19:02
Bài này có thể giải đơn giản thế này
Bất đẳng thức tương đương với
$ \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{2{x^2} + 1}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{{{y^2} - {z^2}}}{{2{y^2} + 1}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{{{z^2} - {x^2}}}{{2{z^2} + 1}}} \right) \ge \dfrac{3}{2}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{2{y^2} + 1}}{{2{x^2} + 1}} + \dfrac{{2{z^2} + 1}}{{2{y^2} + 1}} + \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{2{z^2} + 1}} \ge 3$ (đúng theo AM-GM)
Bất đẳng thức tương đương với
$ \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{2{x^2} + 1}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{{{y^2} - {z^2}}}{{2{y^2} + 1}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{{{z^2} - {x^2}}}{{2{z^2} + 1}}} \right) \ge \dfrac{3}{2}$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{2{y^2} + 1}}{{2{x^2} + 1}} + \dfrac{{2{z^2} + 1}}{{2{y^2} + 1}} + \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{2{z^2} + 1}} \ge 3$ (đúng theo AM-GM)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leviethai1994: 08-01-2010 - 19:02
- Nguyễn Hưng yêu thích
My page: http://leviethai.wordpress.com/
#4
Đã gửi 04-02-2010 - 20:08
Chắc chắn đây là cách đơn giản nhất ^^:cho x,y,z thực.
cm $\dfrac{x^{2}-y^{2}}{2x^{2}+1} +\dfrac{y^{2}-z^{2}}{2y^{2}+1} +\dfrac{z^{2}-x^{2}}{2z^{2}+1} \leq 0$
dễ thấy $ x^2, y^2,z^2$ và $ \dfrac{1}{2x^2+1},\dfrac{1}{2y^2+1},\dfrac{1}{2z^2+1}$ là 2 bộ đơn điệu ngược chiều nên theo bdt Hoán vị:
$ \dfrac{x^2}{2x^2+1}+\dfrac{y^2}{2y^2+1}+\dfrac{z^2}{2z^2+1} \leq \dfrac{y^2}{2x^2+1}+\dfrac{z^2}{2y^2+1}+\dfrac{x^2}{2z^2+1} $
trừ 2 vế ra ngay dpcm
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh