Chủ đề này có 3 trả lời

[suguku]

cho x,y,z thực.
cm $\dfrac{x^{2}-y^{2}}{2x^{2}+1} +\dfrac{y^{2}-z^{2}}{2y^{2}+1} +\dfrac{z^{2}-x^{2}}{2z^{2}+1} \leq 0$

[mai quoc thang]

cho x,y,z thực.
cm $\dfrac{x^{2}-y^{2}}{2x^{2}+1} +\dfrac{y^{2}-z^{2}}{2y^{2}+1} +\dfrac{z^{2}-x^{2}}{2z^{2}+1} \leq 0$

Ta có :

$\dfrac{x^{2}-y^{2}}{2x^{2}+1} +\dfrac{y^{2}-z^{2}}{2y^{2}+1} +\dfrac{z^{2}-x^{2}}{2z^{2}+1}=\dfrac{-4(x^4y^2+y^4z^2+z^4x^2-3x^2y^2z^2)-\sum (x^2-y^2)^2}{(2x^2+1)(2y^2+1)(2z^2+1)} \leq 0$

Hiển nhiên đúng và đó chính là điều phải chứng minh .

[leviethai1994]

Bài này có thể giải đơn giản thế này

Bất đẳng thức tương đương với


$ \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{2{x^2} + 1}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{{{y^2} - {z^2}}}{{2{y^2} + 1}}} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{{{z^2} - {x^2}}}{{2{z^2} + 1}}} \right) \ge \dfrac{3}{2}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{2{y^2} + 1}}{{2{x^2} + 1}} + \dfrac{{2{z^2} + 1}}{{2{y^2} + 1}} + \dfrac{{2{x^2} + 1}}{{2{z^2} + 1}} \ge 3$ (đúng theo AM-GM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leviethai1994: 08-01-2010 - 19:02

[hoangnbk]

cho x,y,z thực.
cm $\dfrac{x^{2}-y^{2}}{2x^{2}+1} +\dfrac{y^{2}-z^{2}}{2y^{2}+1} +\dfrac{z^{2}-x^{2}}{2z^{2}+1} \leq 0$

Chắc chắn đây là cách đơn giản nhất ^^:
dễ thấy $ x^2, y^2,z^2$ và $ \dfrac{1}{2x^2+1},\dfrac{1}{2y^2+1},\dfrac{1}{2z^2+1}$ là 2 bộ đơn điệu ngược chiều nên theo bdt Hoán vị:
$ \dfrac{x^2}{2x^2+1}+\dfrac{y^2}{2y^2+1}+\dfrac{z^2}{2z^2+1} \leq \dfrac{y^2}{2x^2+1}+\dfrac{z^2}{2y^2+1}+\dfrac{x^2}{2z^2+1} $
trừ 2 vế ra ngay dpcm