Vài này khó quá, em nhờ anh chị nào giỏi hình hướng dẫn giúp, nếu chỉ sử dụng kiến thức cấp 2 thôi thì càng tốt!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Đỗ Quang Duy: 16-11-2009 - 21:50
#1
Đã gửi 16-11-2009 - 21:49
Đỗ Quang Duy
-
- Thành viên
-
- 264 Bài viết
OΩ
Cho tam giác ABC cố định, điểm M nằm trong tam giác này. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}$
Vài này khó quá, em nhờ anh chị nào giỏi hình hướng dẫn giúp, nếu chỉ sử dụng kiến thức cấp 2 thôi thì càng tốt!
Vài này khó quá, em nhờ anh chị nào giỏi hình hướng dẫn giúp, nếu chỉ sử dụng kiến thức cấp 2 thôi thì càng tốt!
#2
Đã gửi 16-11-2009 - 22:31
thuytien92
-
- Thành viên
-
- 112 Bài viết
Trung sĩ
mình giải theo cách lớp 10 đã.
Gọi $ G $ là trọng tâm $ \Delta ABC.$
Ta có $ MA^2+MB^2+MC^2=(\vec{MG} +\vec{GA})^2 + (\vec{MG}+\vec{GB})^2+(\vec{MG}+\vec{GC})^2 $
$ =3MG^2+2\vec{MG}({\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}) + GA^2+GB^2+GC^2.$
Do $ G $ llà trọng tâm $ \Delta ABC =>{\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0};$
$ GA^2+GB^2+GC^2 = (\dfrac{2m_a}{3})^2+ (\dfrac{2m_b}{3})^2+ (\dfrac{2m_c}{3})^2$
$ =\dfrac{4(m_a^2+m_b^2+m_c^2)}{9}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
$ => MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3} do MG^2 \geq 0 $
$ => MA^2+MB^2+MC^2 \geq \dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
Dấu bằng xảy ra khi $ M $ llà trọng tâm $ \Delta ABC$
Gọi $ G $ là trọng tâm $ \Delta ABC.$
Ta có $ MA^2+MB^2+MC^2=(\vec{MG} +\vec{GA})^2 + (\vec{MG}+\vec{GB})^2+(\vec{MG}+\vec{GC})^2 $
$ =3MG^2+2\vec{MG}({\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}) + GA^2+GB^2+GC^2.$
Do $ G $ llà trọng tâm $ \Delta ABC =>{\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0};$
$ GA^2+GB^2+GC^2 = (\dfrac{2m_a}{3})^2+ (\dfrac{2m_b}{3})^2+ (\dfrac{2m_c}{3})^2$
$ =\dfrac{4(m_a^2+m_b^2+m_c^2)}{9}=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
$ => MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3} do MG^2 \geq 0 $
$ => MA^2+MB^2+MC^2 \geq \dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}$
Dấu bằng xảy ra khi $ M $ llà trọng tâm $ \Delta ABC$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thuytien92: 16-11-2009 - 22:33
Điền trắc nghiệm tự do là một nghệ thuật, nhưng người điền tự do trắc nghiệm có chọn lọc mới là người nghệ sĩ ^^!
#3
Đã gửi 17-11-2009 - 11:39
ZenBi
-
- Thành viên
-
- 219 Bài viết
Thượng sĩ
Bài này có thể tìm GTNN của MA + MB + MC cũng được chứ hok cần $ MA^2 + MB^2 + MC^2 $ . Chỉ có cái cách làm hơi khủng ! Mình vừa thử này ^^
HIGH ON HIGH
#4
Đã gửi 17-11-2009 - 12:47
Đỗ Quang Duy
-
- Thành viên
-
- 264 Bài viết
OΩ
Em đánh nhầm đề do quen gõ ^2, cái đề đúng là thế này:
Cho tam giác ABC cố định, điểm M nằm trong tam giác này. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA^{n}+MB^{n}+MC^{n}$
Cho tam giác ABC cố định, điểm M nằm trong tam giác này. Tìm giá trị nhỏ nhất của $MA^{n}+MB^{n}+MC^{n}$
#5
Đã gửi 17-11-2009 - 19:01
ILS
-
- Thành viên
-
- 5 Bài viết
Lính mới
Chỉ cần cm BĐT $\ x^{m} + y^{m} + z^{m} \geq 3. \left(\dfrac{x+y+z}{3} \right)^{m}$ là sẽ ra
Theo BĐT Bernoulli thì
$\left(\dfrac{2x}{x+y} \right)^{m} + \left(\dfrac{2y}{x+y} \right)^{m} $
$\ = \left(1 + \dfrac{x - y}{x + y} \right)^{m} + \left(1 + \dfrac{y - x}{x + y} \right)^{m} $
$\ 1 + \dfrac{m(x-y)}{x+y} + 1 + \dfrac{m(y - x)}{x+y} = 2 \Rightarrow \dfrac{x^{m} + y^{m}}{2} \geq \left(\dfrac{x+y}{2} \right)^{m} $
Áp dụng $\dfrac{x^{m} + y^{m}}{2} + \dfrac{z^{m} + \left(\dfrac{x+y+z}{3} \right)^{m}}{2} \geq 2\left(\dfrac{x+y+z}{3} \right)^{m} $
Như vậy ta có BĐT trên
Dấu đẳng thức xảy ra khi $\left[ m = 1 \\x = y = z $
Theo BĐT Bernoulli thì
$\left(\dfrac{2x}{x+y} \right)^{m} + \left(\dfrac{2y}{x+y} \right)^{m} $
$\ = \left(1 + \dfrac{x - y}{x + y} \right)^{m} + \left(1 + \dfrac{y - x}{x + y} \right)^{m} $
$\ 1 + \dfrac{m(x-y)}{x+y} + 1 + \dfrac{m(y - x)}{x+y} = 2 \Rightarrow \dfrac{x^{m} + y^{m}}{2} \geq \left(\dfrac{x+y}{2} \right)^{m} $ Áp dụng $\dfrac{x^{m} + y^{m}}{2} + \dfrac{z^{m} + \left(\dfrac{x+y+z}{3} \right)^{m}}{2} \geq 2\left(\dfrac{x+y+z}{3} \right)^{m} $
Như vậy ta có BĐT trên
Dấu đẳng thức xảy ra khi $\left[ m = 1 \\x = y = z $
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ILS: 17-11-2009 - 19:06
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
