Cho đa thức f(x) bậc n có n nghiệm thực .a là một nghiệm bội của f'(x).CMR:f(a)=0
Đa thức
Bắt đầu bởi tuan101293, 20-11-2009 - 19:43
#1
Đã gửi 20-11-2009 - 19:43
KT-PT
Do unto others as you would have them do unto you.
#2
Đã gửi 25-11-2009 - 01:42
Đặt $f(x) = \prod_{i=1}^{k} (x-a_i)^{r_i}$ với $a_1 < a_2 < ... < a_k$ và $\sum_{i=1}^{k} r_i =n$. Theo định lý Rolle, đa thức đạo hàm $f'(x)$ đều nhận các nghiệm $a_i$ với bội $r_i-1$, đồng thời trong mỗi khoảng $(a_i,a_{i+1})$ thì $f'(x)$ còn có ít nhất một nghiệm khác. Như vậy, số nghiệm của $f'(x)$ được liệt kê đã là $\sum_{i=1}^{k} (r_i - 1) + (k-1)= (n-k) + (k-1) = n-1$. Nhưng $deg f'(x) = n-1$ nên các nghiệm trong các khoảng $(a_i,a_{i+1})$ của $f'(x)$ không thể là nghiệm bội. Do đó, nghiệm bội của $f'(x)$ nếu có phải là một trong số các $a_i$ và ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mashimaru: 25-11-2009 - 02:05
Và như thế, hạnh phúc thật giản dị, nhưng đó là điều giản dị mà chỉ những người thực sự giàu có trong tâm hồn mới sở hữu được.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh